Die Form der Paradoxie - Uboeschenstein.ch

anderen –1 für x und umgekehrt. Wir erkennen eine zur Russellschen Paradoxie identische
Form, wenn wir +1 und –1 mit den beiden Seiten identifizieren, zwischen denen der Wert der
gewählten Gleichung oszilliert (dort waren die Seiten: selbstbeinhaltend oder -
ausschließend; im Indikationenkalkül markiert und unmarkiert). Die Annahme der einen
Lösung – und Einsetzung für x auf einer der Seiten – verweist auf die andere Lösung – das
(noch) nicht fest¬gelegte x auf der anderen Seite nimmt den nicht angenommenen Wert an.
Dies liefert uns eine formale Anschauung dessen, was wir Form der Paradoxie genannt
haben.
Die Ähnlichkeiten zwischen diesen Gleichungen und selbstbezüglichen Aussagen sind
augenscheinlich: So, wie eine Zahl entweder positiv, negativ oder die Null sein muss, gibt es
für Aussagen die Kategorien wahr, falsch und „bedeutungslos“; so, wie selbstbezügliche
Aussagen auf zwei verschiedenen Ebenen betrachtet werden, steht das x in den
Gleichungen einmal im Nenner und einmal im Zähler; und schließlich: so, wie
selbst¬bezügliche Aussagen, die wir für problematisch (paradox) halten, eine Negation
enthalten müssen, steht in Gleichung b ein Minuszeichen.
Wenn man demnach die Theorie der Typen von Bertrand Russell und Alfred North
Whitehead konsequent verfolgen würde, müsste man die gesamte Mathematik eliminieren,
die mit komplexen Zahlen arbeitet. Aber jeder Mathematiker und Physiker weiß, dass es
ohne diese Zahlen nicht mehr geht und dass man mit ihnen arbeiten kann – und damit auf
ganz reale Ergebnisse kommt. Denn ohne den (ganz praktischen) Gebrauch der imaginären
Einheit ist die Welt, technisch wie sie heute ist, nicht vorstell-bar. Diese Argumentation bringt
George Spencer Brown auf den Punkt:
„Die Tatsache, dass imaginäre Werte gebraucht werden können, um auf eine reale und
bestimmte Antwort zu schließen, gepaart mit der Tatsache, dass dies in der heutigen
mathematischen Praxis nicht geschieht, und ebenso gepaart mit der Tatsache, dass
bestimmte Gleichungen offensichtlich nicht ohne den Gebrauch imaginärer Werte gelöst
werden können, bedeutet, dass es mathematische Aussagen geben muss (deren Wahrheit
oder Nichtwahrheit tatsächlich perfekt entschieden werden kann), die mit den Methoden der
Schlussfolgerung, auf die wir uns bislang beschränkt haben, nicht entschieden werden
können.“ (SPENCER BROWN 1997: 86)
Das heißt auch, dass es erwartbar erscheint, dass wir Theoreme finden werden, deren
Wahrheit (im Sinne von Beweisbarkeit) nicht entschieden werden kann, solange wir auf
Gleichungen ersten Grades beschränkt sind. Bei den meisten unbewiesenen und von daher
problematischen Sätzen, die es in der Mathematik gibt, wurde noch nicht der Versuch
unternommen, sie auf Grundlage des Indikationenkalküls zu rechtfertigen. Lediglich das Vier-
Farben-Theorem, das wegen seiner Anschaulichkeit, Einfachheit und vor allem wohl durch
die Schwierigkeit, es zu beweisen, berühmt wurde, hat George Spencer Brown bewiesen
(Vgl. SPENCER BROWN 1997: 141-191).
3. Die Form der Paradoxie
Der erste Satz dieses Kapitels fehlt.
Ein grundsätzliches Anliegen dieses Textes ist es, den Paradoxiebegriff zu präzisieren. Dazu
wird im Folgenden an einigen Beispielen und Gegen¬beispielen für Paradoxien die Grenze
zwischen paradoxen und anderen formalen Strukturen geschärft und die gemeinsame
formale Struktur von Paradoxien dargestellt, hier „Form der Paradoxie“ genannt. Zunächst
kommen wir aber auf die die Grundlagenkrise der Mathematik auslösende Paradoxie von
Bertrand Russell zurück.
Die Russellsche Paradoxie
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