Die Form der Paradoxie - Uboeschenstein.ch

In der Definition der Multiplikation erkennt man dieses „Muster“ im Raum s1, das heißt
innerhalb der äußersten Markierung. Die erste (linke) der beiden Markierungen in s1 enthält
a Markierungen, die zweite (rechte) wird als r gesetzt, das heißt r hat die Form einer
Markierung, die b nebenein¬ander stehende und keine weiteren Markierungen enthält. Die
„Überset¬zung“ der Definition der Multiplikation mittels des zehnten Theorems sieht also
zunächst so aus:
a b =
... r
Mit unserem Spezialfall des Theorems 10 sehen wir, dass das r in jede der a Markierungen
hineinpositioniert werden darf. Das heißt ganz konkret und anschaulich, dass b
Markierungen a mal geschrieben werden müssen. Der Ausdruck hat nun auch immer eine
alles umfassende Markierung, die mit der äußersten Markierung aufgehoben werden kann,
so dass tatsächlich genau a • b Markierungen stehen bleiben.
Während es sehr erleichternd ist, gerade kompliziertere logische Zusam¬menhänge
„indikationslogisch“ zu analysieren, macht es wohl kaum einen Sinn, „indikationsnumerisch“
zu rechnen. Das ist zum einen komplizierter und vor allem zum anderen gerade dann
aufwendig, wenn größere Zahlen berechnet werden sollen. Man muss am Ende ja alle
Markierungen zählen. Insofern dient die Demonstration der Interpretation für Zahlen weniger
als Beleg für die sinnvolle Anwendbarkeit der Laws of Form, als vielmehr als
Veranschaulichung ihrer Tiefe und Mächtigkeit: Selbst die numerische Mathematik lässt sich
aus den Laws of Form ableiten.
Wie auch für die Interpretation für Logik findet man noch erheblich mehr Beispiele, Sätze und
Anwendungen in dem entsprechenden Appendix in den Laws of Form. Beides konnte hier
nur angedeutet werden – als erleichternder Einstieg und als Motivation für eigene Studien.
Ein großer Erfolg der Laws of Form ist ihre Anwendung zum Beweis des berühmten Vier-
Farben-Theorems. Vor dem Beweis, den George Spencer Brown 1979 auf der Grundlage
des Indikationenkalküls lieferte (siehe Appendix 5: „Two proofs of the four-colour map
theorem“, in SPENCER BROWN 1997: 141-188), gab es lediglich einen mehrere tausend
Seiten langen, der sich auf Computerberechnungen stützt. Dies alles gibt Grund zur
Annahme, dass weitere unbewiesene Sätze (nur) mit Hilfe solcher primärer Kalküle
beweisbar sowie etliche Beweise mit ihnen eleganter, kürzer und einsichtiger zu führen sind.
Wir fassen zusammen: Die Primäre Arithmetik unterliegt nicht den Beschränkungen, die
Boole seiner Algebra auferlegte und welche logischer Natur sind. Die Primäre Algebra kann
zum Beispiel als Boolesche Algebra oder klassische Logik interpretiert werden. Durch den
unterschiedlichen Ansatz und der daraus resultierenden unterschiedenen
Formalisierung kann man jedoch nur auf Basis der Primären Algebra erkennen und
darstellen, dass George Boole nur Gleichungen ersten Grades zulassen konnte,
während George Spencer Brown auch Gleichungen zweiten Grades, die
selbstbezüglich sein können, formal bearbeiten kann. Nun wird der Blick für
Paradoxien frei. Und man erkennt die Paradoxie als eine notwendig mögliche Form,
die sich ganz natürlich und ohne „äußere“ Eingriffe ergibt, und die sich wie jede
andere Form formal darstellen lässt. Es gibt keinen Anlass mehr, sie vermeiden zu
wollen. Wenn man eine Unterscheidung auf bestimmte Art und Weise in sie selbst
einführt, hat man es mit einer Paradoxie zu tun. Eine der berühmtesten und
wissenschaftshistorisch relevantesten – aber vor George Spencer Browns Entdeckung nicht
als solche erkannte – wird im folgenden Kapitel dargestellt.
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