Die Form der Paradoxie - Uboeschenstein.ch

Nachdem uns das erste Theorem und die damit verbundenen Überlegungen die Sicherheit
verliehen haben, dass jeder denkbare Ausdruck tatsächlich auch den markierten oder
unmarkierten Zustand anzeigt, finden wir mit Theorem 2 (Inhalt) eine allgemeine Regel zur
Vereinfachung der Berech¬nung. Sie ist vereinfachend, weil man sich viele Rechenschritte
sparen kann, wenn man sie kennt:
„Wenn ein beliebiger Raum ein leeres Kreuz durchdringt, dann ist der Wert, der in diesem
Raum bezeichnet [angezeigt; F. L.] wird, der markierte Zustand.“ (SPENCER BROWN 1997:
13)
Bildlich gesprochen ist damit gemeint: Wenn wir einen Ausdruck c haben, der einen
beliebigen Teilausdruck b („beliebiger Raum“) und daneben ein einzelnes cross umfasst,
dann ist der Wert des Ausdruckes c der markierte Zustand. Oder formal (und algebraisch, da
Variablen verwendend):
c = b =
Die beweisende Überlegung besteht darin, dass der beliebige Teil b des Ausdruckes c
entweder auf den markierten oder unmarkierten Zustand zurückgeführt werden kann. Ist b
unmarkiert, bleibt nur das einzelne cross stehen und c ist der markierte Zustand; ist b
markiert, kondensieren die beiden crosses zu einem. Was bleibt, ist also in beiden Fällen der
markierte Zustand.
Ein wichtiges und notwendiges Merkmal eines jeden Kalküls ist, dass er die
Unterscheidungen, die er trifft, konsistent durchhält. Das Theorem 3 (Übereinstimmung)
sorgt dafür, dass die unterschiedenen Zustände markiert und unmarkiert nicht verwechselt
werden.
„Die Vereinfachung eines Ausdrucks ist eindeutig.“ (SPENCER BROWN 1997: 14)
Das heißt, wenn ein beliebiger Ausdruck c auf unterschiedlichen Wegen vereinfacht werden
kann, dann werden alle diese Wege das gleiche Ergeb¬nis haben: Er wird entweder stets
markiert oder stets unmarkiert sein. Es ist nicht der Fall, dass der Wert eines Ausdruckes
von einer Wahlmöglichkeit des Weges abhängt.
Zum Beweis des dritten Theorems benötigen wir eine Verallgemei¬nerung des zweiten
Theorems, die als Sechster Kanon eingeführt wird, genannt die Regel der Dominanz. Wenn
ein beliebiger Ausdruck c gegeben ist, kann er verschiedene Teilausdrücke im seichtesten
(äußersten) Raum beinhalten. Nach der Regel der Dominanz ist der Wert des
Gesamtaus¬druckes markiert, wenn zumindest einer der Teilausdrücke markiert ist. Mit dem
ersten Initial und dem zweiten Theorem ist das unmittelbar einleuch¬tend.
Der Beweis der (konsistenten) Unterschiedenheit von markiert und unmarkiert beruht auf
einem Schema, wie jedem cross des Ausdruckes c entweder ein n für unmarkiert oder ein m
für markiert zugeordnet werden kann; und zwar auf eine Weise, die den Wert von c nicht
ändert. Als veranschaulichendes Beispiel betrachten wir folgenden Ausdruck:
Sodann beginnen wir im tiefsten Raum, unter jede Markierung ein m für markiert zu
schreiben. Das zeigt uns an, dass ohne weitere, in seichteren Räumen stehende crosses der
Wert des Ausdruckes der markierte wäre.
Wir notieren also:
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