Die Form der Paradoxie - Uboeschenstein.ch

2. Imaginärer Wert und komplexe Zahlen
Es wurde oben schon auf den Unterschied zwischen Boolescher und Brownscher Algebra
eingegangen. Dieser führte zur Sichtbarkeit von Gleichungen höheren Grades, oder mit
anderen Worten: Die Primäre oder Brownsche Arithmetik erlaubt,„komplexe Werte in der
Algebra zu verwenden. Diese sind Analogien zu den komplexen Zahlen in der gewöhnlichen
(numerischen) Algebra.“ (SPENCER BROWN 1997: XXI)
Dieser Zusammenhang mag zunächst überraschen, erweist sich aber als sehr nützlich, die
Form der Paradoxie zu präzisieren.
Ausgangspunkt der Überlegungen ist folgender: Bestimmte quadratische Gleichungen sind
in der Menge der reellen Zahlen nicht lösbar, da das Quadrat einer reellen Zahl nicht negativ
sein kann. Durch die Erweiterung des Zahlraumes auf die Menge der komplexen Zahlen, die
auf der Einfüh¬rung der imaginären Einheit i beruht, kann man auch diesen Gleichungen
Lösungen zuordnen. Diese sind aber keine Zahlen im herkömmlichen Sinne mehr. Mit der
üblichen räumlichen Veranschaulichung der kom¬plexen Zahlen (als Koordinatenkreuz)
gelangt man vielmehr zu der Ansicht, dass der Zahlenstrahl der reellen Zahlen einen
winzigen Ausschnitt der komplexen Zahlen darstellt.
In der numerischen gewöhnlichen Algebra werden diese „komplexen Werte“, das heißt
imaginäre Zahlen, ganz selbstverständlich gebraucht, vor allem aufgrund ihres
durchschlagenden Erfolges – sowohl innerhalb der Mathematik als Element des
Theoriegebäudes als auch in ihren Anwen¬dungen wie beispielsweise in der Theorie des
Elektromagnetismus oder der Phasentheorie in der Elektrizitätslehre. Weil ihre Struktur und
daraufhin ihre Verbindung zu Paradoxien bisher nicht erkannt wurden, konnten theoretische
und praktische Mathematiker die imaginäre Einheit viel leichter als Werkzeug akzeptieren als
einen imaginären Wert, der den logischen Grundannahmen widersprach. Auch heute noch
ist im Grunde unklar, was komplexe Zahlen sind, und bisweilen führt ihre Unerklärbar¬keit zu
Ablehnung selbst unter Mathematikern. Die Unfähigkeit, diese Struktur angemessen
beschreiben zu können, rührt jedoch nicht aus der Sache selbst, sondern hat ihre Ursache
darin, dass eben der Zusammenhang zu Paradoxien und ihrer speziellen Form bisher nicht
erkannt und beschrie¬ben wurde.
Im Folgenden wird angedeutet, inwiefern wir die imaginäre Einheit als zwar imaginäre, aber
praktische Lösung einer „paradoxen Gleichung“ begreifen können. Wie wir gesehen haben,
gibt es unter den Gleichungen zweiten Grades zwei verschiedene Typen: die
Gedächtnisfunktion, die entweder den markierten oder den unmarkierten Zustand
hervorbringt, und die Oszillatorfunktion, welche den imaginären Wert zur Lösung hat. Um
das Argument möglichst anschaulich vortragen zu können, identifizieren wir sie mit den
speziellen quadratischen Gleichungen
a: x2 = 1 und b: x2 = – 1,
wobei a und b lediglich die Namen der Gleichungen sind. Durch Division je beider Seiten
durch x erhalten wir
a: x = 1/x und b: x = -1/x.
Da die Gleichungen numerisch ausgewogen sein müssen, kommen als Lösungen nur die
Einheiten (+1 und –1) in Betracht, denn andernfalls wäre immer eine Seite der Gleichung
größer und die andere kleiner als eins. Gleichung a bereitet uns keine Probleme, denn
setzen wir auf einer ihrer Seiten eine der Einheiten für x ein, bestätigt die andere Seite den
gewählten Wert. In der Gleichung b, die wir mit der Oszillatorfunktion identifizieren, kommen
wir auf diese Weise zu keinem Ergebnis, wie sich leicht durch Ausprobieren herausfinden
lässt. Deshalb wurde der imaginäre Wert i, der die Wurzel aus –1 symbolisiert, in die
Gleichungstheorie eingeführt. Setzt man auf der einen Seite +1 ein, ergibt sich auf der
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