Die Form der Paradoxie - Uboeschenstein.ch

Zum Verhältnis von Primärer Arithmetik und Primärer Algebra halten wir fest, dass die
Algebra eine Meta-Theorie zur Arithmetik darstellt. Metasprachliche Einsichten der Arithmetik
werden in metasprachlichen Schemata dargestellt, für die Variablen verwendet werden.
Insofern ist die Aufgabe der Algebra, die gültigen Schemata der Arithmetik zu
axioma¬tisieren.
6. Kapitel: Die Primäre Algebra
Die Primäre Algebra
Die Primäre oder Brownsche Algebra ist ein Kalkül für die Primäre Arithmetik. Wie am Ende
der Darstellung der Arithmetik gefunden, lauten die Initiale der Primären Algebra:
Initial 1 (Position) J1: p p =
Initial 2 (Transposition) J2: r p r q = p q r
Diese Initiale hat George Spencer Brown nicht zufällig gewählt, denn ein Set von Initialen ist
nicht unbedingt geeignet, einen Kalkül zu fundieren. Ob ein Set von Initialen brauchbar ist,
weiß man erst, wenn man heraus¬gefunden hat, wohin es führt. Noch in anderer Hinsicht
kann man die Brauchbarkeit von Initialsystemen unterscheiden, nämlich dahingehend, ob sie
einfache Beweise gestatten. Der Indikationenkalkül hat in dieser Hinsicht viele Stärken – wie
zum Beispiel der Beweis des Vier-Farben-Theorems belegt. Für die Demonstration der
offensichtlichen Konsequenz 1 (Reflexion)
C1: a = a
benötigt George Spencer Brown jedoch zwei volle Seiten. Ein Beweis in der Primären
Arithmetik wäre sehr viel einfacher, indem man das Einset¬zungsverfahren verwendet, also
für a die beiden Möglichkeiten ausprobiert; wie oben schon vorgeführt. In der Algebra
können und sollen die Konse¬quenzen jedoch demonstriert werden, und das heißt, dass sie
mittels der Initiale der Algebra abgeleitet werden. Man beginnt mit der linken Seite und führt
Rechenschritte aus, so dass man die rechte Seite erhält – oder umgekehrt. Dabei dürfen nur
die beiden Initiale verwendet werden; später, nachdem noch weitere Konsequenzen
gefunden und demonstriert wurden, darf man dann auch diese Konsequenzen für Schritte in
der Demonstration verwenden.
Mit den Theoremen acht und neun der Primären Arithmetik als Initiale der Primären Algebra
lassen sich etliche Konsequenzen demonstrieren, die die Schritte der Vereinfachung und der
Erweiterung im Umgang mit Aus¬drücken deshalb erleichtern, weil sie eine Anzahl von
Schritten unter einen einzigen subsumieren. Auf der einen Seite decken sie
Zusammenhänge auf, die das Gebäude beschreiben, das aus den anfänglichen Axiomen
ent¬wickelt werden kann. Die Konsequenzen sind allgemeingültige Formen. Und auf der
anderen Seite kann man sie funktional als Vereinfachung für spätere Rechnungen begreifen,
da sie jeweils mehrere Rechenschritte zusammenfassen. Statt also jedes Mal die ganzen
Rechenschritte, die in der Demonstration der Konsequenzen durchlaufen werden müssen,
erneut für eine weitere Demonstration zu machen, greift man auf eine Konsequenz zurück
und benötigt damit nur einen Schritt.
An einem möglichst einfachen Beispiel soll das Verfahren der Demonstra¬tion
veranschaulicht werden. Neben der ersten soll auch Konsequenz 2 (Generation)
vorausgesetzt werden:
C2: a b b = a b
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