Die Form der Paradoxie - Uboeschenstein.ch

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erkenntnistheoretischen Teil darauf zurück kommen: „Yin-Yang und der re-entry“ in III. 3., S. 186). Modulation und Anwendungen Die letzten sechs Seiten des 11. Kapitels der Laws of Form befassen sich mit einigen Veranschaulichungen und Anwendungen: Impulse, die durch einen Ausdruck laufen; eine Markierung für selbstbezügliche Ausdrücke, so dass es möglich wird, einen selbstbezüglichen Ausdruck in einen größe¬ren Ausdruck zu stellen, ohne die Information zu verlieren, welcher Teil in sich selbst wieder vorkommt (Unterscheidung zwischen cross und marker); und Schaltungen, die Abbildungen von Ausdrücken sind, anhand derer übersichtlich wird, welche Wellenstruktur ein Ausdruck repräsentiert. Die beiden letzten Modulatorgleichungen im Text der Laws of Form sind insofern von Interesse, als mit diesen anhand von speziellen Computer¬schaltkreisen zum ersten Mal in der Geschichte der Mathematik oder Technik vorgeführt wird, wie der Gebrauch von imaginären Booleschen , also nicht-numerischen Werten zu realen Ergebnissen führt. Der so genannte marker wird benötigt, um kompliziertere selbstbezüg¬liche Gleichungen darzustellen zu können. Den bekannten Ausdruck S kann man mit Hilfe des markers zum Beispiel folgendermaßen notieren: S = a b Nun kann auch dargestellt werden, dass in einem Ausdruck nur ein bestimmter Teilausdruck in sich selbst wieder eingeführt wird: V = a b c d Und selbstbezügliche Teilausdrücke können auch in einem weiteren, umfassenden selbstbezüglichen (Teil-)Ausdruck stehen oder zwei derartige Ausdrücken können ineinander verschachtelt platziert werden. Durch die Einführung des markers können also auch erheblich komplexere Aus¬drücke und Gleichungen dargestellt werden als Gleichungen zweiten Grades. In dem Abschnitt über die Form der Paradoxie werden wir sehen, wie der imaginäre Wert der (Brownschen, nicht-numerischen) Algebra mit der imaginären Einheit in der numerischen Algebra (komplexe Zahlen) und wie diese beiden mit Paradoxien zusammenhängen (siehe Seite 129ff.). Der Unterschied zwischen Boolescher und Brownscher Algebra Auch wenn man zur Brownschen Algebra identische Strukturen in Booles Konzeption findet, sind beide doch grundlegend verschieden. George Boole entwarf seine Algebra in The mathematical analysis of logic an die Logik angepasst, das heißt, er verstand Logik als Fundament seiner Algebra. Deshalb unterliegt seine Algebra logischen Beschränkungen. Das hat zur Folge, dass eine zum re-entry äquivalente, also selbstbezügliche Form nicht gefunden bzw. zugelassen werden kann. Ebenso kann die damit einhergehende Form der Paradoxie nicht erkannt und entsprechend berück-sichtigt werden, was zu den fundamentalen Problemen in den Grundlagen der Mathematik geführt hat. 58
Die Paradoxie „verstößt“ gegen die (in der Logik geltenden) Sätze vom ausgeschlossenen Dritten, vom Widerspruch und von der Identität. Mit dem Satz vom ausgeschlossenen Dritten wird zum Ausdruck gebracht, dass es nur die zwei zu Grunde gelegten Werte (in der Logik: wahr und falsch) gibt, so dass jede Aussage entweder dem einen oder dem anderen zugeord¬net werden muss. Eine dritte Möglichkeit wäre eben ausgeschlossen. Der Indikationenkalkül basiert nicht auf diesem Satz, weil sonst Gleichungen höheren Grades nicht möglich wären. Der Satz der Identität besagt, dass Einheiten identisch gehalten werden müssen, und der Satz vom Wider¬spruch, dass etwas nicht sein Gegenteil sein kann. Anders formuliert: Etwas ist mit sich selbst identisch, A ist A; etwas ist nicht identisch mit seinem Gegenteil, A ist nicht non-A. Auch diese Sätze gelten nur für Gleichungen ersten Grades und bilden eine Beschränkung, die eben dort gilt, bilden aber keine im eigentlichen Sinne mathematische Grenze. Mit den Laws of Form erkennen wir, dass Logik nicht die zur Algebra gehörende Arithmetik ist, sondern nur eine ihrer Auslegungen. Die Arith¬metik, die zur nicht-numerischen Algebra gehört, ist die Primäre oder Brownsche Arithmetik. Insofern können wir davon sprechen, dass George Spencer Brown die Algebra Booles am Anfang um das Fundament erwei¬tert hat und sie dadurch von logischen Beschränkungen – insbesondere vom Gesetz des ausgeschlossenen Dritten – befreit wurde, so dass Booles Algebra am Ende weiter geführt werden kann. Das heißt hier vor allem, dass der re-entry eine Figur des Wiedereinschlusses des ausgeschlossenen Dritten ist. Die Problematisierung dieser drei für die klassische Logik fundamen¬talen Gesetze kann noch vertieft und vereinheitlicht werden zu dem, was Niklas Luhmann als das „Problem der Identität“ identifiziert hat (vgl. LUHMANN 1990a: 95). Die Logik postuliert einfach die Identität, und das ist auf der Ebene erster Ordnung auch ohne weitere Bedenken möglich. Problematisch wird dann aber, wie man den Identitätsbegriff aufrecht erhalten kann, wenn eine Unterscheidung in sich selbst eingeführt wird – und dann ja zwar immer noch die gleiche, aber auch eine andere, eine wieder in sich selbst eingeführte Unterscheidung, und also auch nicht die selbe ist. Für die Soziologie konstatiert Niklas Luhmann aufgrund des Problems der soziologischen Praxis, die auch sich selbst – ihre eigene Tat¬sächlichkeit – berücksichtigen können müsse, dass die Prämissen einer zweiwertigen Logik gesprengt würden (vgl. LUHMANN 1997: 17). Letztlich kann man heute aufgrund von Selbstbezüglichkeit wissen, dass eine Logik, die nicht über Zweiwertigkeit und einen unreflektierten Identitätsbegriff hinausgeht, obsolet ist. Die Einfachheit und Schlichtheit des Indikationenkalküls rührt daher, dass in ihm – im Gegensatz zu anderen bekannten Versuchen, ein geeig¬netes Fundament für Mathematik zu finden – nur einer Seite einer Unter¬scheidung ein Name gegeben wird. Im Indikationenkalkül wird das Problem über Ab- und Anwesenheit des cross gelöst. Das von George Spencer Brown entworfene System ist hinsichtlich zweier Eigenschaften von allen vorherigen unterschieden: „Die Anzahl der Elemente, auf die operiert wird, ist unbegrenzt und die Reihenfolge ihrer Darstellung irrelevant.“ (SPENCER BROWN 1997: XV) Das rührt daher, dass es nur eine Sorte von Konstanten gibt. Bislang waren Formalisierungen nur mit der schon getroffenen Unterscheidung zwischen Operator (beispielsweise + und • oder in der Logik Aussageverknüpfungen wie „und“ oder „wenndann“) und Operand (dann z. B. 5 oder 6 bzw. Aussagen) möglich. In den Laws of Form gibt es nur das cross, das als beides fungiert bzw. welches wir als eine fundamentalere Formalisierung verstehen können, da es diese oder andere Unterscheidungen noch nicht benötigt. In der Entwicklung des Indikationenkalküls führt das zu einer größeren Einfachheit und Offenheit. Dadurch wird eine Formalisierung von selbst¬bezüglichen Ausdrücken überhaupt 59
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