Die Form der Paradoxie - Uboeschenstein.ch

Exkurs in den mathematik-geschichtlichen Zusammenhang
In diesem Exkurs werden einige relevante Entwicklungen in der Diskussion um die
Grundlagen der Mathematik vom Ende des 19. Jahrhunderts bis zur Mitte des 20.
Jahrhunderts dargestellt und in einen Zusammenhang mit den Entdeckungen und
Einsichten der Laws of Form gebracht. Zentral sind dabei die Typentheorie von Bertrand
Russell und Alfred North Whitehead, die Unvollständigkeitssätze von Kurt Gödel und der
Begriff der Para¬doxie.
Bertrand Russell stieß Anfang des 20. Jahrhunderts bei dem Versuch einer logischen
Fundierung der Mathematik auf ein Problem, das die Grundlagen seiner Theorie
erschütterte; und das bis heute Rätsel aufgibt. Es war die Fortsetzung bzw. Wiederholung
des Problems, das Bertrand Russell schon in dem formalen System von Gottlob Frege
festgestellt hatte. Damals entdeckte er sowohl in Freges als auch seinen eigenen Versuchen
der Fundierung der Mathematik die enorme Tragweite des Problems der Paradoxie, über
das sich schon seit der griechischen Antike viele Philo-sophen und Logiker die Köpfe
zerbrachen. Und das seit Russells Ent¬deckung auch Mathematikern, die sich mit Fragen
nach den Grundlagen der Mathematik beschäftigen, schwerwiegende, weil grundlegende
Probleme bereitet.
In den Jahren 1901-02 schrieb Bertrand Russell an den Prinzipien der Mathematik, in denen
er sich mit der Mengenlehre beschäftigte, die der Mathematiker Georg Cantor erdacht hatte,
denn diese schien aus mehreren Gründen wie geschaffen als logische Grundlage der
Mathematik. Zu dieser Zeit stand nicht in Frage, dass Mathematik logisch fundiert sein
müsse. Die Möglichkeit, dass stattdessen Logik ein Zweig oder Teilgebiet der Mathe¬matik
sein könnte, wurde kaum in Betracht gezogen. Mit der Mengenlehre konnten so viele
zentrale Probleme in den Grundlagen der Mathematik erklärt und gelöst werden, dass auch
nach Bertrand Russells Entdeckung auf sie als Grundlage nicht mehr verzichtet werden
konnte. Sie gründet in der Idee, verschiedene Dinge hinsichtlich ihrer Eigenschaften zu
Mengen zusammenfassen zu können. Für die von Bertrand Russell entdeckte Paradoxie ist
relevant, dass es zum einen möglich ist, Mengen von Mengen (im Gegensatz zu Mengen
von „Dingen“) zu bilden, also beispielsweise die Menge aller Mengen, die Albert Einstein
enthalten. Zum anderen können sich Mengen auch selbst enthalten, wie zum Beispiel die
Menge aller Mengen, die Albert Einstein nicht enthalten oder die Menge aller abstrak¬ten
Dinge, die ja selbst abstrakt ist, oder auch einfach die Menge aller Mengen.
Dies berücksichtigend wollte Bertrand Russell die so genannte „normale Menge“ definieren
als die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten. Diese Menge wurde nach
seinem Namen R genannt. In einer konsistenten, also auch widerspruchsfreien Theorie
müsse nun entscheidbar sein, ob sich die normale Menge selbst enthält oder nicht.
Selbstbe¬inhaltung und Selbstausschluss sind die beiden Seiten einer Unterschei¬dung, die
in der Theorie getroffen wurde, und jede Menge soll nun auch entweder der einen oder der
anderen Seite zugeordnet werden können. Im Falle der normalen Menge R ist das
erschütternder Weise nicht der Fall. Selbstbeinhaltung verweist auf Selbstausschluss und
umgekehrt. In dem Versuch der Zuordnung gerät man in eine Oszillation: Wenn sie sich
selbst enthält, dann enthält sie sich selbst nicht und umgekehrt ad infinitum. Man beachte,
dass die Selbstbezüglichkeit der Definition von R zu dieser unlös¬baren Situation führt. Wir
werden später (in dem entsprechenden Abschnitt in: II. 3. „Die Form der Paradoxie“, S.
132f.) noch einmal ausführlich auf die Paradoxie der Menge R zurückkommen, um die
konstitutiven Merkmale der Form der Paradoxie genauer herauszuarbeiten.
In den ersten drei Jahrzehnten des 20. Jahrhunderts haben viele Mathe¬matiker auf
unterschiedlichen Wegen versucht, die mathematische Theorie so zu konstruieren, dass sie
keine Paradoxien hervorbringen kann. Den meisten und bekanntesten Versuchen ist
gemeinsam, dass das Fundament logischer Natur sein müsse. Als das auch heute noch
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