Die Form der Paradoxie - Uboeschenstein.ch

Theorem 5 (Identität)
„Identische Ausdrücke drücken den selben Wert aus.“ (SPENCER BROWN 1997: 19)
Theorem 6 (Wert)
„Ausdrücke des selben Wertes können miteinander identifiziert werden.“ (SPENCER
BROWN 1997: 19)
Theorem 7 (Konsequenz)
„Ausdrücke, die äquivalent mit einem identischen Ausdruck sind, sind äquivalent
miteinander.“ (SPENCER BROWN 1997: 20)
Zum Verständnis ist der Unterschied identisch/äquivalent von Bedeutung. Identische
Ausdrücke sind auf keine Weise unterscheidbar, außer dass dies der eine und jenes der
andere ist. Äquivalente Ausdrücke zeigen lediglich den gleichen Wert an; das heißt,
Äquivalenz betrifft nur den Wert eines Ausdruckes.
Das siebte Theorem besagt demnach, dass, wenn ein Ausdruck c mit v äquivalent ist und
ebenso ein Ausdruck d mit v äquivalent ist, dann eben auch c und d äquivalent sind, das
heißt, den gleichen Wert anzeigen.
Variablen
In seinem Text geht George Spencer Brown nun dazu über, auch mit variablen, also
unbestimmten Teilausdrücken zu kalkulieren, und findet und beweist die Theoreme der
Invarianz (Form der Position) und der Varianz (Form der Transposition), die der Primären
Algebra als Initiale zu Grunde gelegt werden.
Schon in den letzten Theoremen haben wir die Idee von Variablen in Ausdrücken implizit
verwendet, indem von beliebigen Ausdrücken gespro¬chen wurde. Mit Zeichen für Variablen
(a, b, c, p, q, r etc.) kann dann formal dargestellt werden, dass ein beliebiger Ausdruck an
verschiedenen Stellen eines größeren Ausdruckes vorkommt. Die beiden folgenden
Theoreme führen in das Rechnen mit Variablen ein, so dass wir im Allge¬meinen – das heißt
ohne Festlegung der Variablen auf einen bestimmten Ausdruck (bzw. damit dann auf den
markierten oder den unmarkierten Zustand) – nicht mehr entscheiden können, auf welchen
Zustand der Ausdruck als ganzer zurückführbar ist. Da die Theoreme 8 und 9 von der
Arithmetik zur Algebra überleiten, werden sie Theoreme der Verbindung genannt.
Die beiden Theoreme sind spezielle, allgemeine Aussagen über die Form von Ausdrücken.
Es kann aufgrund der Identität von Teilen eines Ausdruckes mit anderen Teilen trotz der
Variablen ein Rechenweg einge¬schlagen und dem Ausdruck ein Wert zugeordnet werden.
Die beiden die Darstellung der Primären Arithmetik beschließenden Theoreme sind
Ausdruck der Gewissheit, in welchen Zustand bestimmte, Variablen enthaltende Ausdrücke
überführt werden können. Für diese Gleichungen macht es also keinen Unterschied, für
welchen Ausdruck die Variablen p, q und r stehen bzw. auf welche Zustände sie
zurückgeführt werden können.
Theorem 8 (Invarianz): p p =
Indem man nacheinander die beiden möglichen Fälle für p (den markierten und den
unmarkierten Zustand) einsetzt, so dass man sieht, dass in jedem Fall der unmarkierte
Zustand herauskommt, kann man dieses Theorem beweisen.
Einen weiteren Zusammenhang zwischen variablen Ausdrücken beschreibt:
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