Die Form der Paradoxie - Uboeschenstein.ch

Der Auslöser für die Grundlagenkrise der Mathematik besteht in der von Bertrand Russell
entdeckten und nach ihm benannten Paradoxie, die zu Beginn dieses Teils im Abschnitt zum
mathematik-historischen Zusam¬menhang skizziert wurde. Im zweiten Kapitel wurde
dargestellt, welches Missverständnis dazu führte. Im vorliegenden Abschnitt wird die
Russell¬sche Paradoxie detaillierter betrachtet.
Eine erste Anschauung dessen, was bisher und im Folgenden die „Form der Paradoxie“
genannt wird, gewinnen wir durch die Betrachtung der Konstruktion der „normalen Menge“ R.
In der Mengenlehre können „Dinge“ (zum Beispiel Objekte, Eigenschaften oder Mengen)
aufgrund ihrer Eigenschaften zu Mengen zusammengefasst werden. Eine Menge enthält
„Dinge“ – und schließt andere aus. Wenden wir dies auf sie selbst an, kann eine Menge
entweder sich selbst enthalten oder sich selbst ausschließen. Sich selbst ausschließende
Mengen sind ganz normale Mengen – daher auch der Name, den Bertrand Russell seiner
berühmt gewordenen, paradoxen Menge gab. Beispiele für normale Mengen sind die Menge
aller Vögel; die Menge aller Menschen, die Taja Luna kennen; oder die Menge aller Mengen,
die Albert Einstein enthalten. „Normal“ meint hier, dass die Unterscheidung zwischen der
Menge und den Elementen der Menge aufrecht erhalten bleibt. Normale Mengen sind nie
selbstbezüglich in dem Sinne, dass die Definition der Menge auf die Menge selbst
angewendet werden kann. Dies unterscheidet gewöhnliche, selbstaus¬schließende Mengen
von selbstenthaltenden Mengen. Solche Mengen haben die merkwürdige Eigenschaft, dass
die Grenze zwischen Menge und Element verschwimmt. Eine selbstenthaltende Menge ist
eine Menge und enthält sich selbst, ist also auch ihr eigenes Element. Beispielsweise sind
die Menge aller Mengen oder auch die Menge all derjenigen Mengen, die Albert Einstein
nicht enthalten, selbstenthaltend. Eine weitere ist eben die nach Bertrand Russell benannte
Normale Menge R: Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten.
Mit der Definition führen wir die eine Seite der Unterscheidung zwischen Selbsteinschluss
und Selbstausschluss (nämlich Selbstausschluss: Mengen, die sich nicht selbst enthalten) in
die gleiche Unterscheidung wieder ein (und erhalten die Menge, die alle Mengen enthält, die
sich selbst nicht enthalten) und können nun fragen, auf welcher Seite dieser Unterscheidung
sich die derart konstruierte Menge R selbst befindet. Enthält die Menge aller Mengen, die
sich nicht selbst enthalten, sich selbst?
Die Strategie, eine Antwort auf diese Frage zu finden, besteht darin, zunächst die eine und
später die andere Möglichkeit als zutreffend anzunehmen, und jeweils anhand der Definition
von R zu überprüfen, was aus der Annahme folgt.
Also angenommen, R sei selbstenthaltend. Die Menge R wurde durch den
Zusammenschluss aller der Mengen gebildet, die sich nicht selbst enthalten, also normal
sind. Wenn R sich aber selbst enthält, enthält R (indem sie sich selbst enthält) eine
selbstenthaltende Menge. Das heißt, dass die Annahme, R enthalte sich selbst, gegen die
Definition von R verstößt, da R ja keine selbstenthaltenden Mengen enthält. Da es nur die
beiden Möglichkeiten selbstenthaltend und selbstausschließend gibt, führt die Annahme, R
enthalte sich selbst, zu dem Schluss, dass R sich nicht selbst enthält.
Angenommen also, R enthalte sich selbst nicht. Wenn R auf diese Weise eine
selbstausschließende Menge ist, dann muss sie laut Definition in R enthalten sein, denn R
enthält ja gerade alle Mengen, die sich selbst nicht enthalten. In diesem zweiten Fall führt die
Annahme des Selbstaus¬schlusses auf Selbstbeinhaltung. In beiden Fällen führt die
Annahme der einen Seite auf die andere. Es kommt zu einer Oszillation zwischen den
Seiten, Werten oder Zuständen, die charakteristisch für Paradoxien – in dem hier
vorgeschlagenen Sinne – ist.
Negation und Selbstbezüglichkeit, die verschiedene Ebenen impliziert, sind die Merkmale,
die zur Paradoxie und der für sie charakteristischen Oszillation zwischen zwei Seiten führen.
Sie dienen uns als vorläufiger Leitfaden zur Form der Paradoxie. Mit Selbstbezüglichkeit
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