Die Form der Paradoxie - Uboeschenstein.ch

Konsequenz 5 (Iteration)
C5: a a = a
Die Demonstrationen befinden sich in der Fußnote:
Eine anspruchsvollere Übung stellt die Demonstration der folgenden Konsequenz dar. Die
Mühe lohnt sich aber, da sie im folgenden Kapitel eine wichtige, von George Spencer
Browns Darstellung abweichende Rolle spielt. Die Konsequenz CL ähnelt Konsequenz C4,
besagt aber etwas anderes:
CL: a b b = b
Nachdem wir uns durch einige Berechnungen mit „der Natur von Rechen¬schritten“ vertraut
gemacht haben und bevor wir die berechnenden Kalku¬lationen beenden und uns
Eigenschaften des Kalküls zuwenden, bemerken wir die Inkonsistenz des „Kalküls der
Schritte“, die mit dem zweiten Theorem, Kontraktion der Referenz, zusammenhängt:
Konsequenzen als Zusammenfassungen von Rechenschritten zu einem einzigen
aufzufassen, führt zu einer auf den ersten Blick merkwürdigen Erkenntnis über die Natur von
Schritten: keinen Schritt zu machen, ist auch ein Schritt. Wenn zwei (oder mehr) Schritte
nach obigen Überlegungen als ein Schritt aufgefasst werden können und zugleich
offensichtlich gilt, dass einen Schritt zu machen und ihn dann umgekehrt auszuführen ergibt,
dass man insgesamt keinen Schritt unternommen hat, dann führt das zu einer Situation, die
man folgendermaßen notieren kann (> ist ein Schritt, < ist der umgekehrte Schritt):
> > < = > < = .
> > < = > .
In der ersten Zeile wurden im ersten Schritt (wir gebrauchen Schritte in der Anzeige von
Schritten) zwei Schritte zu einem zusammengefasst und dann dieser Schritt rückgängig
gemacht, so dass die ursprüngliche Schrittfolge äquivalent damit ist, keinen Schritt zu
machen. In der zweiten Zeile wurde der zweite Schritt rückgängig gemacht (man beachte die
Abstände zwischen den Zeichen), so dass ein einzelner Schritt übrig bleibt. Also ist das
Ergebnis der Rechnung in Schritten abhängig von der Reihenfolge der Schritte, die man zur
Berechnung unternimmt, und somit ist der „Kalkül der Schritte“ inkonsistent. Das beunruhigt
jedoch insofern nicht, als ein Schritt nicht dazu gedacht ist, eine Grenze zu kreuzen. Der
Wert eines Ausdruckes ändert sich durch das Ausführen eines Schrittes nicht. Und
hinsichtlich des Wertes ist es unbedeutend, ob ein Schritt unternommen wird oder nicht.
7. Kapitel: Theoreme zweiter Ordnung
Die Theoreme zehn bis dreizehn der Brownschen Algebra betreffen Verall-gemeinerungen
von einigen zuvor aufgestellten Konsequenzen, die für die vorliegende Einführung
unerheblich sind. Interessant ist lediglich, dass die Verallgemeinerung darin besteht,
bestimmte Gleichungen auf jede Anzahl von Teilausdrücken auszuweiten. Damit ist zwar
noch keine Unendlichkeit gemeint, aber die Beweise können auch auf dieser nicht mehr
explizit darstellbaren Ebene geführt werden.
Das Theorem 10 wird später für die Interpretation für Zahlen relevant sein und dort
angeführt.
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