Die Form der Paradoxie - Uboeschenstein.ch

Auch in der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts gab es verschiedene Versuche, der
Paradoxie bzw. ihrer Eliminierung auf die Schliche zu kommen. Als am bedeutsamsten
haben sich die Theorien von Alfred Tarski und Saul Kripke erwiesen sowie die Axiomatische
Mengenlehre. Sehr knapp dargestellt erreichte Alfred Tarski mit einer Unterscheidung
zwischen Objekt- und Metasprache, die zu einer Hierarchie von Sprachen führt, dass
Ableitungen von Paradoxien in seinem System verhindert werden. Neben diesem Weg der
Hierarchisierung besteht der andere Weg im Umgang mit Paradoxien darin,
Wahrheitswertlücken anzunehmen. Darauf basiert zum Beispiel der Versuch von Saul
Kripke, der behauptet, dass nicht jeder Satz oder jede Aussage wahr oder falsch ist. Sätzen
könne zum Beispiel dann kein Wahrheitswert zugeordnet werden, wenn bestimmte
Voraussetzungen, die für den Satz getroffen werden, nicht erfüllt seien. Aber Paradoxien
hängen eben nicht von empirischen Fakten (den so genannten kontext-unabhängigen
Voraussetzungen) ab.
Auch mit der Axiomatischen Mengenlehre, deren erste Darstellung von Zermelo und Fränklin
1908 vorgelegt wurde, werden Paradoxien durch eine Unterscheidung zwischen Mengen
und Klassen vermieden: Eine Klasse ist nur dann eine Menge, wenn sie selbst wiederum
Element einer neuen Klasse ist. Indem gezeigt wird, dass R eine echte Klasse ist, es also
keine Klasse gibt, die R als Element enthält, wird die Oszillation zwischen Selbstbeinhaltung
und Selbstausschluss aufgelöst.
Mir scheint, dass nahezu allen populären aktuellen Versuchen nach den Veröffentlichungen
von Kurt Gödel weiterhin gemeinsam ist, Paradoxien aus der Theorie zu eliminieren. Die
Erwartung hinter dieser Haltung verkennt die Bedeutung und Formalisierbarkeit von
Selbstbezüglichkeit. Die Furcht besteht darin, dass man aus einem Widerspruch alles
ableiten könne, weshalb als Voraussetzung akzeptiert wurde, dass alle Wider¬sprüche
unannehmbar seien.
1. Mathematik als Grundlage für Logik
Die Ursache für die Grundlagenkrise der Mathematik, die seit über hundert Jahren weniger
gelöst als vielmehr vergessen und verdrängt wurde, sieht George Spencer Brown in der
Frage nach der Grundlage für die mathe¬matische Theorie: Logik oder Mathematik? Die
These, die in den Laws of Form und im vorliegenden Text vertreten wird, lautet, dass Logik
eine Interpretation eines bestimmten Zweiges der Mathematik, nämlich ihrer Grundlagen,
und nicht selbst Fundament für Mathematik ist. Als Belege für diese These dienen die
Interpretation des Indikationenkalküls für die Prädikatenlogik erster Stufe, die eine
Unterscheidung zwischen cross und Negation beinhaltet, und die Interpretation für Zahlen,
die beide am Ende dieses Abschnittes skizziert werden.
Mit dem Indikationenkalkül von George Spencer Brown lässt sich zeigen, dass Logik aus der
Mathematik ableitbar ist, wenn man mit Mathematik ursprünglich beginnt, das heißt, wenn
man das Einfachste formalisiert. Insofern kann man mit George Spencer Brown behaupten,
dass die Beziehung der Logik zur Mathematik der Beziehung einer angewandten
Wissenschaft zu ihrem Ursprung entspricht.
„Ein grundsätzliches Anliegen dieser Abhandlung ist es, das, was als Algebren der Logik
bekannt ist, vom Gegenstand der Logik zu trennen, und sie wieder mit der Mathematik zu
verbinden“. (SPENCER BROWN 1997: XXVI)
Diese Fragestellung hängt mit der Unterscheidung zwischen Arithmetik, mit der man auf
Konstanten operiert, und Algebra, mit der Regeln der (dazugehörigen) Arithmetik mittels
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