Die Form der Paradoxie - Uboeschenstein.ch

Insofern wird behauptet, dass das die Krise verursachende Problem durch den Versuch
entstand, Mathe¬matik durch Logik zu begründen. Der Indikationenkalkül wirft dagegen ein
ganz anderes Licht auf die zentrale Problematik der Grundlagenkrise: die Paradoxie. Dieses
„Problem“ wird genauer identifiziert, indem die Form von Paradoxien herausgestellt und ihre
Notwendigkeit für und Kohärenz mit mathematischen Kalkülen veranschaulicht wird.
Selbstbezüglichkeit und Negation werden hier als die konstitutiven Elemente der Form der
Paradoxie herausgestellt ebenso wie die charakteristische Oszillation zwischen zwei
Zuständen, den zwei Seiten einer Unterscheidung.
Sowohl umgangssprachlich als auch in wissenschaftlichen Texten wird der Begriff
„Paradoxie“ sehr uneinheitlich und oft auch vage verwandt. Im Allgemeinen wird die
Bezeichnung „paradox“ herangezogen, wenn etwas absurd erscheint oder bestimmten
Ansichten und Erwartungen wider¬spricht. Oft ist das Gefühl, das eine Paradoxie auslöst,
Verwirrung. Strengere Charakterisierungen enthalten einen Bezug auf einen (Selbst-)
Widerspruch. In der Sprache der Logik zum Beispiel Aussagen wie „p genau dann wenn
nicht-p“ oder „p und nicht-p“. Es sind wohl solche Zusammenhänge mit der Logik, die
Paradoxien den Ruf verliehen, unbedingt vermieden werden zu müssen. Entsprechend findet
man in der einschlägigen Literatur zur Fundierung von Mathematik durchgängig die Strategie
der Vermeidung. Als wären Paradoxien Probleme, die gelöst werden müssen, indem ihr
Auftreten verhindert und ausgeschlossen wird. Dahinter steht die Überzeugung, dass es zu
Paradoxien durch Fehler in den Annahmen bzw. Voraussetzungen oder durch falschen
Gebrauch der Schlussregeln kommt, die man nur erkennen und vermeiden müsse. Was man
also üblicherweise in der Literatur zu Paradoxien, Logik und Grund¬lagen der Mathematik
findet, ist eine Überzeugung, nach der Paradoxien aus versteckten Widersprüchen und
Fehlern resultieren. In diesem Sinne kann man eine Paradoxie nur lösen, indem man sie
wieder los wird, indem man also zeigt, was schief gelaufen ist, als es zur Paradoxie kam.
Daraus resultiert, dass Paradoxien selbst nicht in den Blick kommen, im Sinne von: Wenn sie
erst einmal verboten sind, braucht man sich nicht länger mit ihnen zu beschäftigen.
Unter Bezugnahme auf die Laws of Form wird hier ganz im Gegenteil aufgezeigt, dass die
Vermeidungsstrategien bezüglich Paradoxien auf einem grundlegenden Miss- oder
Unverständnis beruhen, und dass sie insbesondere die Konsequenzen aus den
Entdeckungen von Kurt Gödel nicht ernst nehmen.
Hier werden für den Paradoxiebegriff keine weiteren Klassifizierungen in logisch,
epistemologisch, mengentheoretisch oder semantisch vorge¬nommen. Man kann solche
oder andere Unterteilungen zu bestimmten Zwecken gebrauchen, hier soll jedoch die allen
gemeinsame „Struktur“ beleuchtet werden.
Um die Bedeutung der Rehabilitation der Form der Paradoxie für die Mathematik in einen
angemessenen Rahmen zu stellen, wird in einem vorangestellten Exkurs zunächst der
mathematik-geschichtliche Zusam¬menhang, in dem die Laws of Form stehen, kurz
dargestellt. Das läuft vor allem auf eine klare Abgrenzung und Hierarchisierung von
Mathematik und Logik heraus (erster Abschnitt). Bevor dann die Form der Paradoxie auch
anhand von einigen Beispielen präzisiert wird (dritter Abschnitt), zeigt der zweite Abschnitt
ein besonders anschauliches Beispiel: Die funk-tionale Äquivalenz von imaginärem Wert des
Indikationenkalküls und imaginärer Einheit der numerischen Mathematik wird auch als ein
Argument herangezogen, das der Figur des re-entry, die der Form der Paradoxie zu Grunde
liegt, mathematisches Gewicht verleiht und ein Umdenken im Umgang mit und in der
Beurteilung von Paradoxien fordert. Es ist das Ziel dieses Kapitels, das den mathematischen
Gewinn darstellt, der durch die Laws of Form erreicht werden kann, insbesondere die
formale Struktur von Paradoxien zu rehabilitieren.
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