Die Form der Paradoxie - Uboeschenstein.ch

4. Gleichungen zweiten Grades
Der Indikationenkalkül hat bislang bis auf seine einfache, schlichte, gera¬dezu
minimalistische Darstellung nichts grundsätzlich Neues zu Tage gebracht, das heißt, bis hier
unterscheiden sich die Algebren Booles und Spencer Browns inhaltlich nicht. Aus der
Einfachheit und dem minimalis¬tischen Formalismus resultiert aber gerade die Einsicht, dass
Gleichungen nicht auf den ersten Grad beschränkt sind. Am Ende dieses Kapitels soll daher
auf den Unterschied zwischen Boolescher und Brownscher Algebra eingegangen und
herausgearbeitet werden, woher der Gewinn der Entde¬ckung von Gleichungen höheren
Grades rührt und was sie für die mathe¬matische Theorie leistet.
In den vorangegangenen Abschnitten wurde der Indikationenkalkül bis zu einem Punkt
entwickelt, von dem aus die wichtigen Eigenschaften Voll¬ständigkeit und Unabhängigkeit
gefunden werden konnten. Nun betreten wir Neuland, indem ein Verfahren entdeckt wird, mit
dem gewisse unend¬liche Ausdrücke als endliche dargestellt werden können, so dass ihre
zugehörigen Werte trotz der Unendlichkeit in einer endlichen Berechnung gefunden werden
können.
Der Grad einer Gleichung gibt die Unbestimmtheit des Wertes (markiert oder unmarkiert) der
in ihr vorkommenden Ausdrücke an. Ausdrücke in Gleichungen ersten Grades sind eindeutig
bestimmt und es werden keine weiteren benötigt, um beispielsweise Logik zu betreiben. Von
daher ist es nicht verwunderlich, dass es gelingen konnte, eine fundamentale Algebra (wie
zum Beispiel die von George Boole) auf einem logischen Fundament zu entwickeln. Jedoch
handelt man sich damit unüberwindliche Probleme ein, da man die Mathematik von
Gleichungen höheren Grades abschneidet, wenn man sie mit Logik begründet; denn auf
diese Weise werden (unnöti¬gerweise) logische Beschränkungen in die Mathematik
importiert.
Um den Zugang zu diesem wesentlichen und schwer verständlichen Kapitel zu erleichtern,
wird eine kurze Skizze des Inhaltes vorangestellt: Nach George Spencer Brown erhält man
Gleichungen zweiten Grades, indem unendliche algebraische Ausdrücke durch
Selbstbezüglichkeit als endliche Gleichungen darstellt werden. Dazu muss ein Teilausdruck
auf beiden Seiten der Gleichung auf noch zu spezifizierende Art und Weise vor¬kommen.
Die so genannten Gedächtnis- und Oszillatorfunktionen liefern die einfachsten
selbstbezüglichen Ausdrücke: entweder wird immer der gleiche Wert (selbstbestätigend)
angenommen oder es findet ein perma¬nenter Wechsel des Wertes (selbstwidersprechend)
statt. Auf der Ebene von Aussagen entsprechen diese Gleichungen der Tautologie und der
Paradoxie. Nun sind Gleichungen zweiten Grades nur dann stets einer Lösung zugänglich,
wenn man einen bisher nicht benötigten und betrach¬teten Wert gebraucht. Als Lösung für
Gleichungen zweiten Grades führt George Spencer Brown den so genannten imaginären
Wert ein, den er beschreibt als Oszillation zwischen dem markierten und dem unmarkierten
Zustand. Diese Oszillation, die Zeit benötigt, unterwandert die Grenze der Unterscheidung,
was durch das Bild des Tunnels dargestellt wird.
Für die mathematische Form, mit der der imaginäre Wert entdeckt wird, prägte George
Spencer Brown den Begriff re-entry (Wieder-Eintritt): Eine Unterscheidung wird auf ihrer
bezeichneten Seite in sich selbst wieder eingeführt. Sie ist dann einerseits die getroffene,
gerade verwendete Unter¬scheidung, die Grundlage einer Beobachtung, aber auch der
Gegenstand der Beobachtung. In der oben erwähnten Terminologie können wir formu¬lieren,
dass die Unterscheidung einerseits getroffen und andererseits vor¬gestellt wird (siehe im
Abschnitt „Grundlegende Ideen: Unterscheidung und Anzeige“ in I. 1.: S. 36). Niklas
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