Die Form der Paradoxie - Uboeschenstein.ch

Die Hypothese besagt, dass man jedem Arrangement einen Wert zuordnen kann. Das heißt,
dass jedes Arrangement als Ausdruck aufgefasst werden kann, da bestimmt werden kann,
welcher Wert angezeigt wird. Die ein¬fachen Ausdrücke, die An- oder Abwesenheit einer
Markierung, können den Werten „markiert“ und „unmarkiert“ zugeordnet werden. Somit kann
jeder Ausdruck durch entsprechende Schritte der Vereinfachung in eine An- oder eine
Abwesenheit der Markierung überführt werden. Später wird das dritte Theorem
(Übereinstimmung) bewiesen, welches besagt, dass unabhängig von verschiedenen
möglichen Wegen der Vereinfachung ein gegebener Ausdruck stets auf nur einen der beiden
einfachen Ausdrücke zurückgeführt werden kann. Das heißt, dass es keinen Unterschied
macht, welche vereinfachenden Schritte getan und in welcher Reihenfolge sie ausgeführt
werden. Die damit einhergehende Konsistenz des Kalküls spielt hier noch keine Rolle. Der
vierte Kanon sichert lediglich, dass aus jedem gegebenen Ausdruck durch vereinfachende
Schritte einer der einfachen Ausdrücke erreicht wird. Er wird an dieser Stelle aufgrund seiner
unmittel-baren Gewissheit aufgestellt. Er kann noch nicht bewiesen werden (und von einem
Kanon wird Beweisbarkeit ja auch nicht verlangt), da der Gedanke der Vereinfachung zu
allgemein ist, und er wird deshalb als Hypothese eingeführt. Erneut: Man beachte, dass nicht
behauptet wird, dass die Vereinfachung eindeutig ist. Diese stärkere These wird erst später
bewiesen werden können.
Aufgrund der begrenzten Möglichkeiten lässt sich leicht veranschau¬lichen, dass jeder nichteinfache
Ausdruck vereinfacht werden kann: Wenn zwei Markierungen der Unterscheidung
nicht ineinander stehen, dann stehen sie nebeneinander. Mehr Möglichkeiten gibt es nicht
und in beiden Fällen kann eines der Axiome herangezogen werden, um ein bzw. zwei
crosses durch Substitution verwendende Äquivalenzumformung zu elimi¬nieren. So kann
man fortfahren, einen beliebig großen, aber endlichen Ausdruck von innen her (seiner
größten Tiefe) zu verkleinern, das heißt die Anzahl der crosses zu verringern. Schließlich
endet dies dadurch, dass nur noch ein cross oder gar keines übrig bleibt.
Im Gegensatz zum zweiten beschreibt der fünfte Kanon eine Erweite¬rung der Referenz.
Hier wird nicht das Zusammenziehen von Befehlen gestattet, sondern die Ausweitung von
Formen. Wo ein Anlass zu weiterer Differenzierung gesehen wird, ist dem keine Grenze
gesetzt. Die Erweite¬rung darf unbeschränkt fortgeführt werden.
„Im allgemeinen also lass jede Form der Referenz uneingeschränkt teilbar sein.“ (SPENCER
BROWN 1997: 10)
Durch die Erweiterung der Referenz, die wir gebrauchen, um auszu¬drücken, dass die
Rechenschritte nicht nur in die Richtung der Verein¬fachung durchgeführt werden können,
erweitern wir die Anzahl der „Primären Schritte“ auf vier, indem wir die Richtung der
Anwendung der beiden Grundgleichungen unterscheiden. Damit erhalten wir zu der Form
der Kondensation die der Bestätigung und zu der Form der Aufhebung die der Kompensation
(darauf kommen wir zurück in I. 3. „Primäre Arithmetik und Primäre Algebra“, S. 68).
So nebensächlich die Erweiterung der Referenz an dieser Stelle erschei¬nen mag (denn
schließlich sind die Seiten der Grundgleichungen äquiva¬lent), so bedeutsam wird sie, wenn
wir über die Entstehung von Kom¬plexität reflektieren. Im Grunde ist die Erweiterung der
Referenz gar keine Regel, die wir einführen. Eine Regel würde darin bestehen, eine Grenze
zu setzen. Hier stellen wir jedoch fest, dass eine solche Grenze die Berech¬nungen nicht
beschränkt. Dennoch muss die Erweiterung der Referenz explizit erlaubt werden, um der
Vereinbarung über die Absicht (dem ersten Kanon) gerecht zu werden. Im dritten
erkenntnistheoretischen Teil wird die Erweiterung der Referenz wieder auftreten als
„konditionierte Koproduk¬tion“.
37