Die Form der Paradoxie - Uboeschenstein.ch

Die Paradoxie „verstößt“ gegen die (in der Logik geltenden) Sätze vom ausgeschlossenen
Dritten, vom Widerspruch und von der Identität. Mit dem Satz vom ausgeschlossenen Dritten
wird zum Ausdruck gebracht, dass es nur die zwei zu Grunde gelegten Werte (in der Logik:
wahr und falsch) gibt, so dass jede Aussage entweder dem einen oder dem anderen
zugeord¬net werden muss. Eine dritte Möglichkeit wäre eben ausgeschlossen. Der
Indikationenkalkül basiert nicht auf diesem Satz, weil sonst Gleichungen höheren Grades
nicht möglich wären. Der Satz der Identität besagt, dass Einheiten identisch gehalten werden
müssen, und der Satz vom Wider¬spruch, dass etwas nicht sein Gegenteil sein kann.
Anders formuliert: Etwas ist mit sich selbst identisch, A ist A; etwas ist nicht identisch mit
seinem Gegenteil, A ist nicht non-A. Auch diese Sätze gelten nur für Gleichungen ersten
Grades und bilden eine Beschränkung, die eben dort gilt, bilden aber keine im eigentlichen
Sinne mathematische Grenze.
Mit den Laws of Form erkennen wir, dass Logik nicht die zur Algebra gehörende Arithmetik
ist, sondern nur eine ihrer Auslegungen. Die Arith¬metik, die zur nicht-numerischen Algebra
gehört, ist die Primäre oder Brownsche Arithmetik. Insofern können wir davon sprechen,
dass George Spencer Brown die Algebra Booles am Anfang um das Fundament erwei¬tert
hat und sie dadurch von logischen Beschränkungen – insbesondere vom Gesetz des
ausgeschlossenen Dritten – befreit wurde, so dass Booles Algebra am Ende weiter geführt
werden kann. Das heißt hier vor allem, dass der re-entry eine Figur des Wiedereinschlusses
des ausgeschlossenen Dritten ist.
Die Problematisierung dieser drei für die klassische Logik fundamen¬talen Gesetze kann
noch vertieft und vereinheitlicht werden zu dem, was Niklas Luhmann als das „Problem der
Identität“ identifiziert hat (vgl. LUHMANN 1990a: 95). Die Logik postuliert einfach die
Identität, und das ist auf der Ebene erster Ordnung auch ohne weitere Bedenken möglich.
Problematisch wird dann aber, wie man den Identitätsbegriff aufrecht erhalten kann, wenn
eine Unterscheidung in sich selbst eingeführt wird – und dann ja zwar immer noch die
gleiche, aber auch eine andere, eine wieder in sich selbst eingeführte Unterscheidung, und
also auch nicht die selbe ist. Für die Soziologie konstatiert Niklas Luhmann aufgrund des
Problems der soziologischen Praxis, die auch sich selbst – ihre eigene Tat¬sächlichkeit –
berücksichtigen können müsse, dass die Prämissen einer zweiwertigen Logik gesprengt
würden (vgl. LUHMANN 1997: 17). Letztlich kann man heute aufgrund von
Selbstbezüglichkeit wissen, dass eine Logik, die nicht über Zweiwertigkeit und einen
unreflektierten Identitätsbegriff hinausgeht, obsolet ist.
Die Einfachheit und Schlichtheit des Indikationenkalküls rührt daher, dass in ihm – im
Gegensatz zu anderen bekannten Versuchen, ein geeig¬netes Fundament für Mathematik
zu finden – nur einer Seite einer Unter¬scheidung ein Name gegeben wird. Im
Indikationenkalkül wird das Problem über Ab- und Anwesenheit des cross gelöst.
Das von George Spencer Brown entworfene System ist hinsichtlich zweier Eigenschaften
von allen vorherigen unterschieden:
„Die Anzahl der Elemente, auf die operiert wird, ist unbegrenzt und die Reihenfolge ihrer
Darstellung irrelevant.“ (SPENCER BROWN 1997: XV)
Das rührt daher, dass es nur eine Sorte von Konstanten gibt. Bislang waren
Formalisierungen nur mit der schon getroffenen Unterscheidung zwischen Operator
(beispielsweise + und • oder in der Logik Aussageverknüpfungen wie „und“ oder „wenndann“)
und Operand (dann z. B. 5 oder 6 bzw. Aussagen) möglich. In den Laws of Form gibt
es nur das cross, das als beides fungiert bzw. welches wir als eine fundamentalere
Formalisierung verstehen können, da es diese oder andere Unterscheidungen noch nicht
benötigt.
In der Entwicklung des Indikationenkalküls führt das zu einer größeren Einfachheit und
Offenheit. Dadurch wird eine Formalisierung von selbst¬bezüglichen Ausdrücken überhaupt
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