Die Form der Paradoxie - Uboeschenstein.ch

zutrifft, bezeichnen wir den Kalkül nach üblichem mathematischen Sprachgebrauch als
vollständig. Vollständigkeit ist damit eine relationale Beziehung zwischen Kalkülen
(Arithmetik und Algebra) und keine Eigenschaft eines einzelnen. Eine Algebra wird
„vollständig“ genannt, wenn sie alle Eigenschaften der dazu¬gehörigen Arithmetik in Form
von Konsequenzen repräsentiert. Der Beweis bedarf einiges an mathematischen
Fertigkeiten, weshalb er hier den Rahmen sprengen würde.
Im Hinblick auf die Unvollständigkeitssätze von Kurt Gödel (siehe GÖDEL 1931) könnte die
Feststellung, dass der Indikationenkalkül nicht nur kon¬sistent , also widerspruchsfrei ist,
sondern auch vollständig, auf den ersten Blick Widerspruch hervorrufen. Eine naheliegende
Vermutung ist, dass die Sätze von Kurt Gödel hier keine Anwendung finden, weil die Laws of
Form das Imaginäre zu repräsentieren erlauben (vgl. den Abschnitt in I. 4.: „Der re-entry und
der imaginäre Wert“, S. 92ff.). Wenn das Imaginäre einem formalen System inhärent ist,
lassen sich die Sätze von Gödel nicht mehr auf dieses System applizieren.
Zudem beweist George Spencer Brown im 10. Kapitel der Laws of Form die Unabhängigkeit
der beiden Initiale der Primären Algebra. Das heißt, dass mit keinem von beiden das andere
Initial demonstriert werden kann. Oder anders formuliert: Würde man auf eines verzichten,
könnte man nicht die gleichen Konsequenzen demonstrieren und erhielte mithin nicht den
Indikationenkalkül. Das sagt aber nichts darüber aus, ob man nicht auch mit anderen
Theoremen der Primären Arithmetik den Indikationenkalkül begründen könnte.
Beweis und Demonstration bzw. Theorem und Konsequenz
Für den geregelten Ablauf der Kalkulation und für seine Darstellung ist es nicht notwendig,
verschiedene Begründungs- oder Rechtfertigungsformen zu unterscheiden und begrifflich
sauber zu trennen. Das gehört nicht zum Kalkül, sondern zu seinem Meta-Bereich. In der
Geschichte der Mathe¬matik wurde das auch nicht getan, obwohl die Unterscheidung
zwischen Beweis und Demonstration sehr einleuchtend ist. Mit ihr gewinnen wir einige
Erkenntnisse über die Struktur von Kalkülen.
Eine Demonstration ist eine Anwendung der Regeln des Kalküls, die auch beispielsweise ein
Computer ausführen kann. Für den Beweis eines Theorems haben wir dagegen etwas zu
finden, das nicht in den Regeln und Gesetzen des Kalküls vorkommt und das einen weiteren
Zusammenhang beschreibt. Das Beispiel der unendlich vielen Primzahlen macht den
Unter¬schied deutlich (vgl. S. 25f.). Für den Beweis wird zwar abstrakt auf die
Grundrechenarten zurückgegriffen, die den Anwendungen der Konsequen¬zen entsprechen.
Aber dies ist nur Hilfsmittel für eine Beweisidee. Tatsächlich kommt in dem Beweis keine
einzige Demonstration vor. Auch Beweisideen können die Form von anerkannten Mustern
haben. In diesem Beispiel besteht es darin, die Endlichkeit der Anzahl der Primzahlen
anzu¬nehmen, und dann einen Rechenweg zu finden, mit dem man auf einen Widerspruch
stößt; es handelt sich um einen so genannten Widerspruchs¬beweis. Wenn wir eine größte
Primzahl als gegeben annehmen und bestimmte Überlegungen vollziehen, die mit dieser
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