Die Form der Paradoxie - Uboeschenstein.ch

dagegen der Indikationenkalkül, dass die Mathematik nicht durch einen Satz vom
ausgeschlossenen Dritten einge¬schränkt ist. Die Primäre Arithmetik und Algebra bringen
diese Regel zwar hervor (Konsequenz 1: Reflexion), gestatten aber die Formalisierung von
Selbstbezüglichkeit, so dass diese Regel für Gleichungen ersten Grades gilt, jedoch
Gleichungen zweiten Grades nicht tangiert.
Auch der „Satz der Identität“, der besagt, dass etwas zu sich selbst identisch ist, und der in
allen gängigen Logiken vorausgesetzt wird, lässt sich mit dem Konzept von
Selbstbezüglichkeit nicht vereinbaren. Man denke an ein abgeschlossenes System, etwa
einen Beobachter, der im Modus Bewusstsein operiert. Für einen Beobachter dieses ersten
Beobach¬ters stellt er eine Einheit dar. Er ist, was er ist; er ist mit sich identisch; auch wenn
er mal so und mal anders ist, bleibt er der, der er ist. Durch seine Operationen schafft und
erhält er eine Grenze zu seiner Umwelt. Für diesen ersten Beobachter selbst gilt das auch,
solange er nicht selbstbe¬züglich operiert, solange er sich etwa die Frage nach seiner
Identität nicht stellt. Doch wenn er sich selbst beobachtet, ist er nicht mehr mit sich selbst
identisch: er hat sich (die Einheit, die er war) in Beobachter und Beobach¬tetes unterteilt.
Operational bleibt er natürlich eine Einheit, das heißt er wird nicht zu zwei Systemen, aber
für sich ist er nicht mehr eines. Er sieht sich als der-und-der an, ist aber zugleich der, der
sich so sieht. Er kann nicht mehr entscheiden, ob er Einheit oder Zweiheit ist: Wenn er sich
als Einheit betrachtet, schafft er durch die Differenz, die die (Selbst-)Betrach¬tung macht,
eine Zweiheit. Diese Zweiheit operiert aber als ein System.
Soweit zu einigen Unvereinbarkeiten, die auftreten, wollte man logische Grundsätze auch als
Fundament einer Mathematik nehmen, die Selbstbe¬züglichkeit einschließt.
In den Laws of Form führt George Spencer Brown in zwei Anhängen vor, dass der
Formalismus des Indikationenkalküls sowohl interpretiert werden kann als klassische
Logik (und damit auch als Boolesche Algebra) als auch für Zahlen. Bevor diese
Interpretationen des Kalküls skizziert werden, wird die Unterscheidung zwischen dem
cross des Kalküls und der Negation der Logik dargestellt.
Eine Unterscheidung zwischen Negation und cross
Für die Interpretation des Kalküls als Logik ist die Unterscheidung zwischen cross und
Negation wesentlich. Die Zustände, die mit der ersten Unterscheidung einhergehen, haben
die gleiche „Struktur“ wie die Wahr¬heitswerte von Aussagen. Nach den Laws of Form ist
jeder Ausdruck von Unterscheidungen entweder auf den markierten oder den unmarkierten
Zustand zurückführbar. Dies ist die grundlegende Unterscheidung, mit der der Kalkül
operiert. Die Logik ordnet Aussagen die Werte „wahr“ und „falsch“ zu, wobei gilt: Wenn eine
Aussage A wahr ist, dann ist ihre Negation falsch. Insofern, als in beiden Fällen zwei Werte
zu Grunde gelegt werden, besteht eine Ähnlichkeit zwischen cross und Negation.
Mit dem cross ist jedoch eine allgemeinere Idee zum Ausdruck gebracht. Eine
Unterscheidung ist entweder getroffen oder nicht und entsprechend ist ein Zustand markiert
oder nicht. Um diesen Umstand zu kennzeichnen, bedarf es jedoch lediglich einer einzigen
Markierung, eben das cross – und seine Abwesenheit. Die Negation dagegen funktioniert
anders: sie bezieht sich immer auf etwas, auf eine Position. Wird eine Aussage negiert,
kreuzt man die Grenze zwischen Position und Negation, da die Negation die andere Seite
der Position ist. Das cross bezieht sich dagegen auf den Raum, in dem es steht. Zudem ist
das cross zugleich Operation und Operand: Wir treffen mit dem cross diese Unterscheidung
(noch) nicht. Demgegenüber benötigt die Negation in der Logik sogar schon die Idee von
Variablen, auf die sie sich beziehen kann.
Insofern hat die Negation in der Logik eine andere Stellung als das cross, da ihr das Andere,
das, worauf sie sich bezieht, gegeben sein muss. Eine Aussage und ihre Negation stellen
72