Die Form der Paradoxie - Uboeschenstein.ch

Luhmann spricht dabei vom re-entry der Unterscheidung in das Unterschiedene. So führt ein
re-entry beispielsweise zu Fragen wie: Ist die Unterscheidung zwischen wahr und falsch
selbst wahr oder falsch? Ist die Unterscheidung zwischen gerecht und ungerecht selbst denn
überhaupt gerecht?
Nur mit der Figur des re-entry ist (Selbst-)Reflexion möglich, denn nur so ist es möglich, sich
intern wie von außen zu beobachten. Auch Selbst¬referenzen wie die Erforschung der
Forschung, die Liebe der Liebe oder das Erlernen des Lernens etc. sind durch einen re-entry
beschreibbar. Im Kontext des vorliegenden Textes wird die Figur des re-entry aber vor allem
für die ernsten wissenschaftlichen Probleme in den Grundlagen der Mathematik fruchtbar
(siehe dazu den Teil II: „Zu den Grundlagen der Mathematik: Die Form der Paradoxie“, S.
112ff.).
11. Kapitel: Gleichungen zweiten Grades
Das 11. Kapitel der Laws of Form leitet George Spencer Brown ein, indem er betont, dass
die Anzahl der Schritte in einer Demonstration endlich ist. Hätten wir uns nicht derart
beschränkt, hätten wir Demonstrationen nicht durchführen können; wir hätten in unendlichen
Ausdrücken keine Möglichkeit, ihren Wert zu bestimmen. Der Kanon 9 (Regel der
Demonst¬ration) ist ein Prinzip, das wir die ganze Zeit befolgt haben und befolgen mussten.
Es besagt, dass die Demonstration einer jeden Äquivalenz von Ausdrücken in endlich vielen
Schritten durchgeführt werden kann (vgl. SPENCER BROWN 1997: 47; 1969: 54). Denn
wenn sie nicht in endlich vielen Schritten durchgeführt werden kann, kommt man nie zu
einem Ende, das heißt, man könnte die Demonstration nicht durchführen. Der neunte Kanon
ist eine Wiederholung und Fixierung der Endlichkeit, die wir für Ausdrücke (nicht für
Rechenschritte) schon im ersten Theorem („Form“) gefunden hatten.
Unendliche Ausdrücke und selbstbezügliche Gleichungen
Wir können eine Folge von wiederkehrenden Befehlen beginnen, um einen Anfangsausdruck
in andere, äquivalente Ausdrücke zu ändern, die sich nur in der Länge unterscheiden:
Abwechselnd sind a und b durch eine Unter¬scheidung getrennt. Mit der Darstellung einer
Schrittfolge von äquivalenten Ausdrücken zeigt George Spencer Brown, dass der Ausdruck
S1: a b
auf eine Weise umgeformt werden kann, so dass Ausdrücke entstehen, die nach gleicher
Form aufgebaut sind, so dass sich a und b durch jeweils ein cross getrennt abwechseln. Wir
erläutern die Demonstration wie folgt:
a b = a b a b Hier wird C5 angewendet, wonach ein beliebiger Ausdruck auch
zweimal nebeneinander geschrieben werden kann.
= a b a b Mit Konsequenz C1 wird das b des ersten Teilausdrucks unter zwei
Kreuze gestellt.
= a b a a b b Nach Initial J2 kann der rechte Teilausdruck unter die beiden Kreuze
geschrieben werden, die innerhalb des linken Teilausdruckes stehen.
= a b a b Mit CL wird der rechte Teilausdruck im äußersten Kreuz vereinfacht.
= a b a b Nach Konsequenz C1 können die beide Kreuze, die das b beinhalten,
weggelassen werden. Dieser Ausdruck wird S2 genannt.
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