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Endliche Automaten
Universelle Automaten
Satz
Für endliches Alphabet X ist L ∈ X ∗ ist genau dann regulär, wenn der
Automat A(L) endlich ist. Bis auf Umbenennung der Zustände stimmt
A(L) dann sogar mit dem Minimalautomaten für L überein.
Beweis.
Da A(L) , wie gerade gezeigt, L akzeptiert, folgt aus der Endlichkeit von
A(L) die Regularität von L .
Umgekehrt sei A ein Minimalautomat für L mit n Zuständen. Falls A(L)
mehr Zustände hat, existieren u, v ∈ X ∗ , die vom Anfangszustand in A
zum selben Zustand führen, in A(L) aber nicht, d.h., ∇(u)(L) ≠ ∇(v)(L).
Wähle w in der Differenz dieser Sprachen. Dann erkennt A(L) genau eins
der Wörter uw und vw , während A entweder beide oder keines erkennt,
Widerspruch.
Jürgen Koslowski (TU-BS) Theoretische Informatik 1 WS 2010/2011 102 / 191