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Capítulo 4. Determinación de la Metalicidad en estrellas de Tipo Vega 184
este método.
En su lugar, utilizamos un método inteligente de búsqueda dentro de la grilla, el
cual constituye el corazón del método de Downhill. Este evita tener que comparar
el espectro observado con todos los espectros de la grilla. Mediante la fotometría
Strömgren o bien el tipo espectral conocido, puede estimarse un punto inicial dentro
de la grilla 4-dimensional. Luego, el algoritmo decide cual es la “dirección” más
conveniente a tomar dentro de la grilla, en el espacio 4d, a fin de minimizar las diferencias
de χ 2 . Este nuevo “punto” elegido por el método, se obtiene a partir de una
interpolación entre 16 espectros de la grilla, como ya explicamos anteriormente. El
proceso es de tipo iterativo, hasta lograr que la diferencias (cuantificadas por χ 2 ) entre
el espectro observado y el interpolado, sea menor que un cierto valor de tolerancia.
Veamos cuál es la idea del método. Consideremos una función χ 2 , definida a partir
de la suma de las diferencias cuadradas (punto a punto) entre el espectro observado
y la grilla. Esta es una función de las 4 variables: temperatura, gravedad, metalicidad
y velocidad de microturbulencia. El objetivo central consiste entonces en minimizar
el valor de χ 2 : “Downhill”, o también llamado “Downhill Simplex”, es un algoritmo
de minimización de funciones de varias variables. El algoritmo no utiliza el proceso
de minimización de una variable (Nelder & Mead, 1965), en su lugar requiere evaluaciones
de la función, pero no de su derivada. El programa utiliza un “Simplex”, que
es una figura geométrica de N+1 vértices, en un espacio de N dimensiones o variables
(N=4 en nuestro caso, con lo cual el “simplex” tendrá 5 vértices). Uno de los vértices
se toma como origen, y los otros N puntos definen posibles “direcciones” vectoriales,
dentro de la topografía N-dimensional. En la Figura 4.8 vemos un ejemplo de “simplex”,
para el caso de N=3. La figura que resulta es un tetrahedro. Inicialmente, la
función es valuada en los cuatro vértices de la figura. Es decir, calcula χ 2 en cada uno
de los vértices. Posteriormente, el método intenta mover (por asi decirlo) la posición
del vértice “high” (el máximo valor de χ 2 ), buscando un punto donde el valor de χ 2
disminuya, y de este modo va buscando el mínimo.
En la Figura 4.8 se muestran 4 posibles “movimientos” del “simplex”: reflexión,
expansión, contracción y contracción múltiple. Notemos que, en los 4 casos, la posición
del punto “low” no ha cambiado, ya que éste era el mínimo valor de χ 2 que
había encontrado inicialmente. Con una secuencia apropiada de estos pasos, lleva al
“simplex” a converger hacia el mínimo de la función de varias variables, utilizando
solamente evaluaciones de la misma.