Kausales Denken, Bayes-Netze und die Markov-Bedingung

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Abbildung 36. Vier Beispiele für ein um eine für jeden Cluster je gemeinsame
Fehlerursache PN zj erweitertes Common-Cause-Modell mit fünf Effekten. In Teilabbildung
(a) gehören alle Effekte zum selben Cluster (diese Partitionierung ist
mithin äquivalent zum Basismodell), in Teilabbildung (b) und (c) sind die Effekte
in jeweils zwei Cluster partitioniert und in Teilabbildung (d) gehört jeder Effekt zu
einem eigenen Cluster (diese Partitionierung ist auf der Ebene der beobachteten
Variablen mithin äquivalent zu einem Bayes-Netz). Konditionale Abhängigkeiten
zwischen Effekten gibt es mithin nur innerhalb von Clustern, aber nicht zwischen
diesen.
6.2.3 Wahrscheinlichkeit einer Partitionierung z gegeben F
Die verbleibende Frage ist nun, mit welchem jeweiligen Gewicht die eben
abgeleiteten, einzelnen bedingten Zielinferenzen zur Gesamtinferenz aggregiert
werden (siehe dazu Gleichung 25 auf Seite 122). Dazu muss für jede mögliche
Partitionierung die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit gegeben der beobachteten
Merkmale bestimmt werden. Dies erfolgt im ersten Schritt einfach durch Anwendung
der Bayes-Formel:
(27)
Die Wahrscheinlichkeit einer Partitionierung z gegeben der Merkmale F ist
demnach proportional zum Likelihood der Merkmale gegeben der Partitionierung
gewichtet mit deren A-priori-Wahrscheinlichkeit.
Die A-priori-Wahrscheinlichkeit lässt sich dabei als Chinese-
Restaurant-Prozess (CRP) beschreiben (siehe Pitman, 2002; Kemp et al., 2007).