Kausales Denken, Bayes-Netze und die Markov-Bedingung

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Innerhalb einer gegebenen Partitionierung z gebe es für jeden Cluster z j eine gemeinsame
Fehlerquelle
, die dem Basismodell entsprechend präventiv auf
die Ursache-Effekt-Relation wirkt. Seien nun
diejenigen Effekte, die zum
z j ten Cluster innerhalb der Partitionierung z gehören (E n , der Zieleffekt, selbst
nicht eingeschlossen) und z n der Cluster der E n enthält und damit
diejenigen
Effekte, die sich im selben Cluster wie E n befinden. Da E n nur mit den Effekten
eine gemeinsame Fehlerquelle,
, teilt, nicht aber mit den anderen Effekten
der Common-Cause-Struktur, lässt sich die Zielinferenz gegeben einer Partitionierung
z analog zur Herleitung in Anhang D vereinfacht schreiben als:
(K-4)
Für die bedingte Wahrscheinlichkeit
gelte die Wahrscheinlichkeitstabelle
aus Anhang D entsprechend. Dann gilt analog der Herleitung
des Basismodells mit
Effekte in Cluster z n und
als der Anzahl der als anwesend beobachteten
als der Anzahl der zum Cluster z n gehörenden Effekte
Gleichung D-12 entsprechend:
(K-5)
Für die Wahrscheinlichkeit einer Partitionierung gegeben der Merkmale
gilt nach Anwendung der Bayes-Regel:
(K-6)
Die A-priori-Wahrscheinlichkeit einer Partitionierung lässt sich als
Chinese-Restaurant-Prozess (CRP) beschreiben (siehe Pitman, 2002; Kemp,
Goodman & Tenenbaum, 2007), der jeder Partitionierung z von n Objekten auf
der Basis der Größe |z j | der Cluster z j in z eine Wahrscheinlichkeit dergestalt zuordnet,
dass:
(K-7)