Kausales Denken, Bayes-Netze und die Markov-Bedingung

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gelb zu sein). Entsprechend beschreibt die Gegenwahrscheinlichkeit
die
Wahrscheinlichkeit, mit der der Cluster die Merkmalsausprägung B, also z.B. grün
zu sein, hervorbringt. Da die Wahrscheinlichkeit
unbekannt ist, definieren wir
für diese eine A-priori-Verteilung, und zwar unter der Annahme, dass Cluster von
den Merkmalsausprägungen her homogen sind,
also entweder nahe 0 oder
nahe 1 liegt (hierfür bietet sich eine Beta-Verteilung mit sehr kleinen Parametern
an) 53 . Seien nun
die Merkmalsausprägungen der Effekte, die dem Cluster z j
zugeordnet sind. Dann ergibt sich unter der Annahme, dass die Cluster hinsichtlich
der Merkmale unabhängig voneinander sind und sich damit das
Gesamtlikelihood als Produkt der Likelihoods über die Cluster darstellt:
(28)
mit
(29)
als Binomial-Modell und
(30)
als Beta-Prior.
Innerhalb eines Clusters z j bestimmt sich damit das Likelihood des beobachteten
Merkmals entsprechend der Binomial-Verteilung: Ist – wie oben beschrieben
– die Wahrscheinlichkeit der Merkmalsausprägung A gleich
und
entsprechend die Wahrscheinlichkeit der Merkmalsausprägung B gleich
, dann ist das Likelihood genau [ ]-mal die Ausprägung A und
[ ]-mal die Ausprägung B zu beobachten, proportional zu Gleichung
29.
Betrachtet man diesbezüglich nun Abbildung 37, dann sieht man, dass die
in den Teilabbildungen (c) und (d) dargestellten Partitionierungen im Hinblick auf
das betrachtete Merkmal der Effekte eine sehr hohe Wahrscheinlichkeit haben,
da alle enthaltenen Cluster perfekt homogen sind, d.h. die zu wählenden θs ent-
53 Zum Beispiel eine -Verteilung, die umgekehrt u-förmig ist und viel Wahrscheinlichkeitsgewicht
nahe 0 und nahe 1 hat.