Mathematik für Maschinenbauer

1 Analysis und numerische AnalysisAssoziativität:KommutativitätDistributivität:Neutrale ElementeInverse:a + (b + c) = (a + b) + ca · (b · c) = (a · b) · ca + b = b + aa · b = b · aa · (b + c) = a · b + a · ca + 0 = aa · 1 = a und 0 ≠ 1a + x = 0 ist eindeutig lösbara · x = 1 ist eindeutig lösbar, wenn a ≠ 0Das Negative (−a) und den Kehrwert 1 a = a−1 (wenn a ≠ 0) definiert man alseindeutige Lösungen der Gleichungen a + (−a) = 0 sowie a · 1a = 1.Subtraktion und Division werden dann wie folgt definiert: a − b := a + (−b)sowie a b := a · ( 1b).Hier sind einige Rechenregeln (und ihre Herleitung aus den Axiomen):(i) Aus x + a = y + a folgt x = y(ii) 0 · a = 0(iii) 2 = 1 + 1; Es ist nichts zu zeigen, da dies der Definition von 2 entspricht.Aber 2 ≠ 1 ist eine echte Aussage und wichtig.(iv) a b + c d = a · d + c · b wenn b, d ≠ 0b · dAnordnungsaxiomeNeben dem Rechnen mit Zahlen muss man auch Vergleiche von Zahlen anstellenkönnen, z.B. a ≤ b mit der Bedeutung ”a ist kleiner oder gleich b”.Vergleichssymbole sind: , ≥.Um die Vergleiche auf eine theoretische Basis zu stellen, benötigt man dieAnordnungsaxiome der reellen Zahlen. Für beliebige reelle Zahlen a, b und cmüssen gelten:Vergleichbarkeit: a < b oder a = b oder a > bTransitivität: Aus a < b und b < c folgt a < c.Verträglichkeit: Wenn a < b, dann ist a + c < b + c.Wenn a < b und 0 < c, dann ist a · c < b · c.Folgerung 1.1.2 Einige Folgerungen aus diesen Axiomen ergeben Rechenregelnfür Ungleichungen:(i) Aus 0 < a folgt (−a) < 0, denn:(−a) = 0 + (−a) < a + (−a) = 0.(ii) Aus a < b folgt −b < −a.(iii) a 2 = (−a) 2 > 0 falls a ≠ 0.(iv) 0 < 1 < 2 (= 1 + 1). Insbesondere folgt: 0 ≠ 2.(v) Aus 0 < a < b und 0 < c < d folgt: ac < bd, denn:a · c < b · c < b · d(vi) Aus 0 < a < b folgt 0 < a 2 < b 2 .10