Mathematik für Maschinenbauer

l1.14 Grundlagen der IntegralrechnungZiel: Umkehrung der Differentiation1.14 Grundlagen der Integralrechnung1. Anwendung: Flächeninhalte von krummlinig begrenzten Figuren bestimmen;beispielsweise die Fläche unterhalb des Graphen einer Funktion y = f(x).yabxDer Flächeninhalt soll eine reelle Zahl sein: F ∈ R. Wie ist F definiert?Für Spezialfälle hat man aus der ebenen Geometrie konkreteErgebnisse. So hat z.B. ein Rechteck die Fläche F = l·b, wennl die Länge und b die Breite des Rechtecks beschreibt.Idee: Approximiere eine allgemeine Figur durch ein Vereinigungdisjunkter Rechtecke, z.B. für einen Subgraphen wie oben:yabx0 x1 x2 x3 xn∆xxBis auf Weiteres soll dabei f : R → R auf [a, b] stetig sein. Eine ZerlegungZ : a = x 0 < x 1 < . . . < x n = b ist eine Unterteilung des Intervalls [a, b]. DieFeinheit einer Zerlegung δ(Z) ist definiert als maximale Maschenweite, d.h.δ(Z) := max j(∆xj)> 0 mit ∆xj = x j −x j−1 . Meistens genügt es äquidistante(gleichabständige) Zerlegungen zu betrachten mit ∆x j = h = (b − a)/n.111