Mathematik für Maschinenbauer

1 Analysis und numerische Analysisaus den Additionstheorem ergibt sichcos(x 1 ) − cos(x 0 )= −2 sin ( x 1 + x 0 ) sin ( x 1 −x 0)·2x 1 − x 0 2 x 1 − x 0)= − sin ( x 1 + x 02x 1 →x 0−−−−→ − sin(x0 ) · 1wegen der Stetigkeit von sin und weil lim sin tt= 1.Damit folgt also tatsächlich cos ′ (x 0 ) = − sin(x 0 ).) sin ( x 1 −x 0·2)( x1 −x 02Satz 1.11.1 Die Exponentialfunktion ist differenzierbar und es gilt (e x ) ′ = e xfür alle x ∈ R.Wegenfolgt dies ause x 1− e x 0x 1 − x 0= e x0 · ex 1−x 0− 1x 1 − x 0e x − 1lim = 1. (1.23)0≠x→0 xWir leiten (1.23) aus der Reihendarstellung für e x her:e x − 1 − x = x22! + x23! + · · · = x2 ( 12! + x 3! + · · · )} {{ }=:g(x)Für |x| ≤ 1:∞∑|g(x)| =∣k=2x k−2k!∞ ∣ ≤ ∑k=2|x| k−2k!≤∞∑k=01k! = e < 3Also folgt zunächst |e x − 1 − x| ≤ 3|x| 2 für |x| ≤ 1. Dividiert man nun durchx ≠ 0, so erhält man:e x − 1∣ − 1x ∣ ≤ 3|x| für 0 < |x| ≤ 1Mit x → 0 folgt dann die Gleichung (1.23).1.11.2 FolgerungenSatz 1.11.2 Differenzierbare Funktionen sind stetig.Denn:f(x) − f(x 0 )lim f(x) − f(x 0 ) = lim· lim (x − x 0 ) = f ′ (x 0 ) · 0 = 0x→x 0 x→x 0 x − x 0 x→x 0Die Umkehrung des Satzes gilt nicht. Ein wichtiges Gegenbeispiel folgt.92