Mathematik für Maschinenbauer

1.16 Integration rationaler Funktionen2. PBZ des zweiten Integranden:• Nullstellen des Nenners bestimmen:x 2 + x − 6 = 0 =⇒ x 1/2 = − 1 2 ± √14 + 6 = −1 2 ± 5 2 =⇒ x 1 = 2x 2 = −3• Linearfaktorzerlegung angeben: x 2 + x − 6 = (x − 2)(x + 3).• Gleichungssystem aufstellen:5x + 1x 2 + x − 6 = 5x + 1(x − 2)(x + 3)• Lösen des Gleichungssystems:3. Integration:∫F (x) =!= A 1x − 2 + A 2x + 3⇓5x + 1 = A 1 (x + 3) + A 2 (x − 2)x = 2 : 11 = 5A 1 =⇒ A 1 = 115x = −3 : −14 = −5A 2 =⇒ A 2 = 145∫ ∫ 11/5 14/5(2x − 3) dx +x − 2 dx + x + 3 dx∣ · (x − 2) (x + 3)= x 2 − 3x + 11 5 ln ( |x − 2| ) + 14 5 ln ( |x + 3| ) + c.Partialbruchzerlegung mit mehrfachen reellen NullstellenIm Falle mehrfacher Nullstellen muss der PBZ-Ansatz modifiziert werden. Fürjede mehrfach auftretende Nullstelle a i müssen exakt so viele Terme der BauartA ij /(x − a i ) j in den Ansatz genommen werden wie die Vielfachheit n idieser Nullstelle angibt. Der Zweitindex j läuft von 1 bis zur Vielfachheit derNullstelle n i .Für das allgemeine Nennerpolynom q dritten Grades mit einer doppelten Nullstellesieht das wie folgt aus:im WS 08/09 weggelassen!q(x) = (x − a 2 ) 2 (x − a 1 ) mit a 2 als doppelter Nullstelle (d.h. n 2 = 2).Der Grad von q beträgt 3, daher hat das Zählerpolynom p den allgemeinenAufbau p(x) = p 2 x 2 + p 1 x + p 0 .Der PBZ-Ansatz ist also 9 :p(x)q(x)!= A +x − a 1Bx − a 2+C(x − a 2 ) 2⇒ p 2 x 2 + p 1 x + p 0 = A(x − a 2 ) 2 + B(x − a 1 )(x − a 2 ) + C(x − a 1 ) (1.24)129