Mathematik für Maschinenbauer

1 Analysis und numerische AnalysisQuotientenkriterium Wählt man die geometrische Reihe ∑ g n als Vergleichsreihe,so gewinnt man folgendes Konvergenzkriterium:Gilt für ein g < 1 und N ∈ N∣ a k+1 ∣∣∣∣ ≤ g wenn k ≥ N,a kdann ist ∑ a k absolut konvergent. Gilt dagegen für ein N ∈ N∣ a k+1 ∣∣∣∣ ≥ 1 wenn k ≥ N,a kdann ist ∑ a k divergent.Begründung der Konvergenz aus|a k+1 | ≤ g|a k | ≤ g 2 |a k−1 | ≤ · · · ≤ g k+1 |a 0 |,dem Majorantenkriterium und der Konvergenz der geometrischen Reihe.Beispiel 1.6.6∣ a k+1 ∣∣∣∣ =a k1. ∑ ∞k=0 k · 2−k konvergiert, denn hier ist a k = k · 2 −k :(k + 1) · 2−(k+1)k · 2 −k = 1 k + 1≤ 1 2 k 2·32 = 3 = g < 1 für k ≥ 2 := N42.∞∑k=01k! konvergiert. Mit a k = 1 k!folgt:∣a k+1a k∣ ∣∣∣=1(k+1)!1k!= 1k + 1 ≤ 1 < 1 für k ≥ 1 := N2WurzelkriteriumGilt für ein g < 1 und ein N ∈ N√k |ak | ≤ g(∀k ≥ N),dann ist ∑ a k absolut konvergent. Gilt dagegen für ein N ∈ N√k |ak | ≥ 1(∀k ≥ N),dann ist ∑ a k divergent.Beispiel 1.6.7{ 2−kwenn k geradea k =3 −k wenn k ungerade{√ 1}k |ak | = 2k gerade1≤ 13k ungerade 2Aus dem Wurzelkriterium folgt die Konvergenz.Das Quotientenkriterium ist nicht anwendbar, da a k+1a k< 1 gilt, wenn k geradeund > 1 wenn k ungerade ist. Dies zeigt auch, dass das Wurzelkriterium stärkerist als das Quotientenkriterium.50