Mathematik für Maschinenbauer

Inhaltsverzeichnis1 Analysis und numerische Analysis 71.1 Das Rechnen mit reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.1 Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.2 Axiome und Rechengesetze . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.3 Rechnen mit Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.4 Minimum und Maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.5 Absolutbetrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.6 Arithmetisches Mittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.7 Summen und Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.8 Das Axiom von Archimedes . . . . . . . . . . . . . . . . 141.1.9 Gleitpunktarithmetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2 Beweismethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.1 Der direkte Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.2 Der indirekte Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.3 Vollständige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3 Mengen und Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3.1 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3.2 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4 Konvergenz reeller Zahlenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.4.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.4.2 Umgang und Rechnen mit Folgen . . . . . . . . . . . . . 351.4.3 Spezielle Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.4.4 Iterationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.5 Die Vollständigkeit der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . 401.5.1 Vollständigkeitsaxiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.5.2 Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.5.3 Intervallfolgen, Bisektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.6 Unendliche Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.7 Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.7.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.7.2 sin, cos und deren Umkehrfunktionen . . . . . . . . . . . 521.7.3 tan, cot und deren Umkehrfunktionen . . . . . . . . . . 571.7.4 Anwendungsbeispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591.8 Vektorrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591.8.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591.8.2 Verknüpfungen und Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . 601.8.3 Koordinatenvektoren und -systeme . . . . . . . . . . . . 641.8.4 Vektoren im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681.9 Stetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733