Mathematik für Maschinenbauer

1.10 Exponentialfunktion und LogarithmusDie Exponentialfunktion strebt sogar sehr schnell gegen +∞ bzw. 0. Aus derReihendarstellung folgt z.B., dass x22 ≤ ex und x36 ≤ ex für x ≥ 0, und es giltoffenbar allgemeinx nlim = 0 ∀n ∈ N.x→+∞ ex Salopp kann man sagen: exp gewinnt immer die ”Oberhand”.Zusammen ergeben sich zwei wichtige Faustregeln:• e x wächst stärker gegen Unendlich als jedes Polynom p(x):p(x)e xlimx→+∞ e x = 0, limx→+∞ p(x) = ∞.• e −x fällt stärker gegen Null als jedes Polynom gegen Unendlich wächst:lim p(x)x→+∞ e−x = 0.Die große Bedeutung der e-Funktion liegt darin, dass sie Wachstums- und Abklingvorgängebeschreibt. Mathematisch sieht man das daran, dass sie Grundlösungder meisten Differenzialgleichungen ist, die entsprechende physikalischeoder wirtschaftliche Vorgänge beschreiben. Darauf kommen wir später zurück.Beispiel 1.10.1 Laden eines Kondensators C über einen Widerstand R:RUCLadestrom i = i(t) als Funktion der Zeit t. Zum Zeitpunkt t = 0 ist der Kondensatorentladen: U C (0) = 0. Konstante Ladespannung U = U R (t) + U C (t).i(t) = I e −tτmit I = U Rund τ = R C als Zeitkonstante.Der Ladestrom nach einer gewissen Zeit z.B. t = 6τ beträgti(6τ) = I e −6 = 0.0025 INach dieser Zeit beträgt der Ladestrom also nur noch 0.25% des größten Ladestroms(zu Beginn). Der zeitliche Verlauf des Ladestroms sieht wie folgt aus:83