Mathematik für Maschinenbauer

1 Analysis und numerische AnalysisBeispiel 1.4.11 In Beispiel 1.4.1 (8) haben wir die Folge x n+1 = x n2 + 1 zurx nBestimmung von √ 2 als Nullstelle der Funktion f(x) = x 2 − 2 kennen gelernt.Wir wollen hier ihre Konvergenzgeschwindigkeit experimentell untersuchen.Wir testen die Behauptung, dass die Folge quadratisch konvergiert mit einerKonvergenzrate K ≈ 0.3.n x n |x n − √ 2| K · (x n−1 − √ 2) 21 2 0.58582 1.5 0.0858 0.1033 1.416667 0.002453 0.002214 1.41421569 0.000002127 0.000001815 1.41421356238 0.00000000001 0.00000000000141.5 Die Vollständigkeit der reellen Zahlen1.5.1 VollständigkeitsaxiomEine Folge (a n ) ist eine Abbildunga : N → R, n ↦→ a(n) = a n .Sie kann folgende interessante Eigenschaften haben:• Konvergenz: limn→∞ a n = g existiert.Divergenz: wenn keine Konvergenz vorliegt.• Beschränktheit: ∀n ∈ N : |a n | ≤ M(wobei M konstant ist.)• Monotonie, z.B. heißt (a n ) monoton steigend genau dann, wenna n ≤ a n+1 für alle n ∈ N.Monoton fallend und streng monoton steigend bzw. fallend werden inanaloger Weise formuliert.Welche Beziehung gibt es zwischen diesen Eigenschaften?Aus der Konvergenz folgt die Beschränktheit, aber nicht umgekehrt. Auch ausder Monotonie folgt weder die Konvergenz noch die Beschränktheit.Beispiel 1.5.1 (einer beschränkten und monoton steigenden Folge (a n ))a n = I 2 n+1, wobei I N = der Inhalt des dem Einheitskreis einbeschriebenenregelmäßigen N-Ecks ist.40