Mathematik für Maschinenbauer

10.90.80.70.60.50.40.30.20.100 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.5−1.5−2.5−3.532.521.510.50−1−2−3−4−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 210.80.60.40.20−0.2−0.4−0.6−0.8−10 1 2 3 4 5 600 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 11.14 Grundlagen der IntegralrechnungSchraffierte Fläche = F (t + h) − F (t) =⇒F (t + h) − F (t)hDie Steigung F ′ (t) von F bei t ist f(t).Die genannte Rechenregel halten wir fest:∫t+htf(x) dxMWS= h · f(z) mit z = z(t, h) ∈ ] t, t + h[= f(z) h→0 −−−→ f(t) wegen f stetig und z → t.Satz 1.14.3 Ist F (irgendeine) Stammfunktion für f, so gilt∫ baSchreibweise: F ∣ b = F (b) − F (a)aBeispiel 1.14.2f(x) dx = F (b) − F (a).1. x = ( 12 x2) ′ , daher folgt:∫ 1x dx = 1 ∣ ∣∣1 ( 1( 12 x2 = 0 2 12) −2 02) = 1 2 .02. f(x) = x 2 − 4 mit F (x) = 1 3 x3 − 4x:∫ 2−2x 2 − 4dx = 1 3 x3 − 4x∣ 2 ( 8)=−2 3 − 8( −8)−3 + 8 = −16 + 16 3 = −102 33. f(x) = sin(x) mit F (x) = − cos(x):∫ 2π0∣sin(x) dx = − cos(x)∣ 2π0= − cos(2π) + cos(0) = 04. Da ( e x) ′ = e x gilt, erhält man:∫ 10e x dx = e x ∣ ∣∣10 = e − 1117