Mathematik für Maschinenbauer

1 Analysis und numerische Analysisreichen die rationalen Zahlen nicht aus, da viele – genauer: die meisten – geometrischenGrößen irrationalen (= nicht rationalen) Zahlen entsprechen.Zwei Beispiele sollen dies veranschaulichen:Die Kreiszahl π ist irrational.Sie ist definiert alsπ =KreisumfangKreisdurchmesser .U = 2π rd = 2 rDie Länge der Diagonale imEinheitsquadrat ist d = √ 2nach Pythagoras. √ PSfrag replacements2 ist irrational(Beweis später).0 1 √2Man erweitert den Zahlenbereich zu den reellen Zahlen R, welche die rationalenund die irrationalen Zahlen beinhalten. Die Visualisierung dieses Zahlensystemserfolgt durch die Zahlengerade. In der folgenden Abbildung sind einigeganze, rationale bzw. irrationale Zahlen an ihrer Position auf der Zahlengeradenzu sehen:√1/3 2| |π|−1 0 1 2 3 4+ + + + + + + + +✲Jede reelle Zahl besitzt eine Dezimalbruchentwicklung, die i.A. nicht abbricht.Die Bestimmung der Dezimalentwicklung einer rationalen Zahl erfolgt durchschriftliche Division. Der Anfang dieser Berechnung ist für die rationale Zahl 1 7nachfolgend gezeigt. Beispiele von Dezimalbruchentwicklungen einiger reellerZahlen sind ebenfalls im folgenden Beispiel aufgeführt.Beispiel 1.1.1 √2 = 1.414213 . . .π = 3.141592654 . . .25= − 636100 = −6.3613= 0.333 . . . = 0.317= 0.1428571 = 1.0 = 0.9− 159Satz 1.1.1 Eine reelle Zahl ist rational genau dann, wenn ihre Dezimalbruchentwicklungabbricht oder periodisch ist.8