Mathematik für Maschinenbauer

1 Analysis und numerische AnalysisIst der Grenzwert g = 0, so setzt man δ = ∞.Ist der Grenzwert g = ∞, so setzt man δ = 0.Die Zahl δ nennt man Konvergenzradius der Potenzreihe.Beispiel 1.17.11. Die Potenzreihe∞∑3 k (x − 1) k mit Entwicklungspunkt x 0 = 1 hat denk=0Konvergenzradius δ = 1 , denn es gilt: g := lim3 k→∞√k |3 k | = 3. Der Definitionsbereichfür die zugehörige Funktion umfasst daher das offene Intervall(1 − 1 3 , 1 + 1 3 ) = ( 2 3 , 4 3 ).k→∞∞∑ 12. Die Potenzreihek xk mit dem Entwicklungspunkt x 0 = 0 hat denk=1√kKonvergenzradius δ = 1, denn es gilt: g := lim = 1. Der Definitionsbereichumfasst daher das offene Intervall (−1, 1).Für x = −1 erhält man die alternierende harmonische Reihe, die nachdem Leibniz-Kriterium konvergent ist. Für x = 1 erhält man die harmonischeReihe, welche divergiert.Für |x| > 1 ist der Term 1 k xk keine Nullfolge mehr und damit ist dieReihe dann divergent.Daher ist der maximale Definitionsbereich der zugehörigen Funktion dashalboffene Intervall [−1, 1).3. Die Potenzreihe∞∑k=01k! xk mit Entwicklungspunkt x 0 = 0 hat den Konvergenradiusδ = ∞, denn hier gilt: g := limk→∞1kk!(k+1)! = limk→∞1k+1 = 0.1.17.2 TaylorformelDurch Ableiten von f(x) bei x 0 erhält man die Steigung der Tangente an denGraphen bei (x 0 , y 0 ) mit y 0 = f(x 0 ). Man erhält für x nahe x 0 eine NäherungWie gut ist diese Näherung?f(x) ≈ f(x 0 ) + f ′ (x 0 )(x − x 0 ).Welchen Fehler begeht man, wenn der exakte Wert f(x) durch den Ausdruckf(x 0 ) + f ′ (x 0 )(x − x 0 ) approximiert wird?Ein Spezialfall der Taylorformel besagt für f ∈ C 2 :f(x) = f(x 0 ) + f ′ (x 0 )(x − x 0 ) + 1 2 f ′′ (z)(x − x 0 ) 2 ,wobei z eine Stelle zwischen x 0 und x ist.134