Mathematik für Maschinenbauer

1 Analysis und numerische Analysis(d) Für Funktionen mit dem Aufbausubstituiert man wie folgt:f(x) = g(e x ) mit g : R → Rs = e x =⇒ g(e x ) = g(s) und dx = dss .Daher gilt allgemein:∫∫g(e x ) dx =g(s) 1 s dsBeispielsweise erhält man dann:∫ 1 + e2x∫ 1 + s2e x dx =s· dss = ∫ 1 + s2s 2 ds = −s −1 +s+c = e x −e −x +c1.16 Integration rationaler FunktionenWir wollen zunächst einige Begriffe aus Abschnitt 1.9 wieder aufgreifen:Ein Polynom vom Grad n hat die Formp(x) = a n x n + · · · + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 mit a n ≠ 0.Eine rationale Funktion besitzt den Aufbaur(x) = p(x) , wobei p und q Polynome sind.q(x)Man nennt r(x) echt gebrochen-rational, wenn der Zählergrad kleiner als derNennergrad ist.So ist z.B. f(x) = 2x4 +x 2 −3eine rationale Funktion. Sie ist nicht echt gebrochenrational,denn bei dieser Funktion ist der Zählergrad 4 größer als der Nenner-x 2 +1grad 2.∫Wie berechnet man nun das unbestimmte Integral f(x) dx?Man geht im Allgemeinen in drei Schritten vor:1. Polynomdivision, falls Zählergrad ≥ Nennergrad.2. Partialbruchzerlegung (PBZ).3. Integration der Summanden der PBZ.126