Mathematik für Maschinenbauer

1.15 IntegrationsmethodenFür unbestimmte Integrale muss man eine Rücksubstitution durchführen:∫∫(I ′ ) f(x) dx = f(x(t))x ′ (t)dtBeispiel 1.15.4 Obiges Beispiel:∫ ∫ ∫ √2t 1 √2t 1 √x 1+ 1 dt = + 1 · 2 dt = dx =223 x3/2 + cWird nun x rücksubstituiert, so erhält man:∫ √2t+ 1dt =13 (2t + 1)3/2 + cMan rechnet in der Praxis meist wie folgt:∫ √2t+ 1 dt =∫ √x 12 dx = 1 3 x3/2 + c = 1 3 (2t + 1)3/2 + cmit x = 2t + 1 =⇒ dxdt = 2 =⇒ dt ✻= 1 2 dxDabei verwendet man die Umkehrfunktion zu t ↦→ x(t):Im Beispiel:Allgemein gilt die Formelt = t(x) ⇔ x = x(t)x(t) = 2t + 1, t(x) = x − 1 , dt2 dx = 1 2 .(II ′ )∫∫f(x(t)) dt =f(x) dtdx dxFür bestimmte Integrale ist keine Rücksubstitution nötig. Man muss aber Integrationsgrenzenanpassen:(II)∫ baf(x(t)) dt =∫x(b)x(a)f(x) dtdx dxBeispiel 1.15.5123