Mathematik für Maschinenbauer

1 Analysis und numerische Analysis1.1.5 AbsolutbetragDer Absolutbetrag |a| einer reellen Zahl a gibt auf der Zahlengeraden denAbstand des Punktes a zum Ursprung an. Er ist definiert als{ a, wenn a ≥ 0|a| =−a, sonst (d.h. wenn a < 0)Einige Eigenschaften des Betrages sind:|a| ≥ 0,|a| = | − a|,|a · b| = |a| · |b|,|a + b| ≤ |a| + |b|,∣z.B. |(−3) + 4) < | − 3| + |4|, |3 + 4| = |3| + |4|.∣|a| − |b| ∣ ≤ |a − b|,denn: |a| = |(a − b) + b| ≤ |a − b| + |b|,und daher folgt |a| − |b| ≤ |a − b|,denn: |b| = |(b − a) + a| ≤ |a − b| + |a|,und daher folgt |b| − |a| ≤ |a − b|.Um Ungleichungen oder Gleichungen aufzulösen, die Beträge oder Maximabzw. Minima enthalten, muss man i.d.R. mit Fallunterscheidungen arbeiten.(Ü-Aufg.)1.1.6 Arithmetisches MittelDas arithmetische Mittel m von a und b ist definiert durch m = a + b2 .Die Eigenschaft |a − m| = |b − m| = |b−a|2bedeutet geometrisch, dass derAbstand von m zu a genauso groß ist wie der Abstand von m zu b. DieserAbstand entspricht gerade der halben Intervallbreite.Ist a < b, so gilt a < m < b.|a+m|b✲1.1.7 Summen und ProdukteDie Addition von mehr als zwei Zahlen definiert man rekursiv:a 1 + a 2 + a 3 := (a 1 + a 2 ) + a 3a 1 + a 2 + a 3 + a 4 := (a 1 + a 2 + a 3 ) + a 4.a 1 + a 2 + . . . + a n := (a 1 + · · · + a n−1 ) + a n.12