Mathematik für Maschinenbauer

1.11 Grundlagen der Differenzialrechnunge x+y = e x e y beweistsinh(x ± y) = sinh x cosh y ± cosh x sinh y, (1.17)cosh(x ± y) = cosh x cosh y ± sinh x sinh y, (1.18)tanh(x ± y) =tanh x ± tanh y1 ± tanh x tanh y . (1.19)Für x = y ergeben sich die Sonderfällesinh 2x = 2 sinh x cosh x, (1.20)cosh 2x = cosh 2 x + sinh 2 x, (1.21)und durch Addition bzw. Subtraktion der Gleichungen (1.16) und (1.21)cosh 2x = 2 cosh 2 x − 1, cosh 2x = 2 sinh 2 x + 1. (1.22)Beispiel 1.10.4 Die Form eines zwischen zwei gleich hohen Masten aufgehängtenSeiles wird durch die Gleichung der Kettenliniey = a cosh x abeschrieben, wobei a das Verhältnis der Horizontalkomponente der Seilkraft zurGewichtskraft je Längeneinheit ist. Die Länge a bedeutet gleichzeitig die Höhedes tiefsten Seilpunktes über dem Koordinatenanfangspunkt, weil für x = 0 derFunktionswert y = a wird. Für a = 80 m beträgt die Höhe der Mastspitze überdem Nullpunkt bei zwei 150 m entfernten Masteny = 80 m · cosh(75 m/80 m)= 80 m cosh 0.9375 = 80 m · 0.5(e 0.9375 + e −0.9375 )= 80 m · 0.5(2.55 + 0.39) = 118 mMan kann auch direkt cosh 0.9375 = 1.47 dem Taschenrechner entnehmen. DerDurchhang f beträgt (118 − 80) m = 38 m. Bei Annahme der Ersatzparabely = a(1 + 0.5x 2 /a 2 ) erhält man dagegen y = 80 m · (1 + 0.5 · 0.9375 2 ) = 115 m,also einen Durchhang von 35 m.1.11 Grundlagen der Differenzialrechnung1.11.1 DefinitionenBewegungsvorgänge in Physik und Technik führen zu Weg-Zeit-Gesetzen. Ausdiesen lassen sich wiederum Geschwindigkeit, Beschleunigung und andere Größenbestimmen.89