Mathematik für Maschinenbauer

1 Analysis und numerische AnalysisBeispiel 1.11.5 Die Ableitung von f(x) = y = 5x 2 + sin(x) berechnet sichalso zu y ′ = 5(x 2 ) ′ + sin ′ (x) = 5 · 2x + cos(x) = 10 x + cos(x).Satz 1.11.4 Für zwei differenzierbare Funktionen f, g : R → R gilt die Produktregel:(f · g) ′ = f ′ · g + f · g ′Beweis.f(x 1 )g(x 1 ) − f(x 0 )g(x 0 )= g(x 0)[f(x 1 ) − f(x 0 )] + f(x 1 )[g(x 1 ) − g(x 0 )]x 1 − x 0 x 1 − x 0= g(x 0 ) f(x 1) − f(x 0 )+ f(x 1 ) g(x 1) − g(x 0 )x 1 − x 0x 1 →x 0−−−−→ g(x0 ) · f ′ (x 0 ) + f(x 0 )g ′ (x 0 )x 1 − x 0Beispiel 1.11.6 Es sei y = x 2 · sin(x). Dann gilt:y ′ = (x 2 ) ′ · sin(x) + x 2 · (sin ′ (x)) = 2x sin(x) + x 2 cos(x).Satz 1.11.5 Es seien f, g : R → R zwei differenzierbare Funktionen. Danngilt an allen Stellen mit g(x) ≠ 0 die Quotientenregel:( fg) ′=f ′ g − f g ′g 2Beweis. Für den Spezialfall f = 1 soll die Beweisstruktur aufgezeigt werden:1g(x 1 ) − 1g(x 0 )x 1 − x 01= −g(x 1 )g(x 0 )g(x 1 ) − g(x 0 )x 1 − x 0x 1 →x 0−−−−→ −1g(x 0 ) 2 g′ (x 0 ).Beispiel 1.11.7 Zu y = cot(x) = cos(x)sin(x)ist die Ableitung also:y ′ =(cos(x)) ′ sin(x) − cos(x)(sin(x)) ′(sin(x)) 2=− sin(x) sin(x) − cos(x) cos(x)sin 2 (x)= − cos2 (x) + sin 2 (x)sin 2 (x)= − 1sin 2 (x) .94