Mathematik für Maschinenbauer

1 Analysis und numerische Analysis5.∫ bax n ds = 1 ∣ ∣∣bn + 1 xn+1 = 1 (b n+1 − a n+1)a n + 1Für a > b ist das IntegralIntegraldefinition hierfür wie folgt:Daher folgta∫f(x) dx = 0.a∫ ba∫ baf(x) dx bisher nicht definiert. Wir erweitern die∫ af(x) dx := −bf(x) dxDie Linearität, Teilintegration und die Rechenregel gelten auch für die Verallgemeinerung.Die Positivität dagegen nur für a ≤ b.Man kann auch gewisse nichtstetige Funktionen f : R → R integrieren, z.B.monotone Funktionen, Funktionen mit endlich vielen Sprungstellen, die aberstückweise stetig sind wie z.B.⎧⎪⎨ 0.4 · e x 0.3 ≤ x < 1.3f : [0.3, 4.3] → R mit f(x) = −0.1 · (x⎪⎩2 − 4) + 3 1.3 ≤ x < 3.30.3 · (x − 3.3) + 1 3.3 ≤ x ≤ 4.3mit dem folgenden Graphen:yy0.31.3 3.34.3x0.31.3 3.34.3xMittels Zerlegungen und Ober- und Untersummen definiert man die Klasseder Riemann-integrierbaren Funktionen f : [a, b] → R. Die Funktionen sindbeschränkt (keine Polstellen) und nicht ”zu wild”.Ändert man eine Riemann-integrierbare Funktion in endlich vielen Stellen ab,dann bleibt sie Riemann-integrierbar und ihr Integral ändert sich nicht.118