Mathematik für Maschinenbauer

1.22 Komplexe Funktionen1.22 Komplexe Funktionen1.22.1 WiederholungWir wiederholen zunächst kurz wichtige Begriffe aus Abschnitt 1.20.Komplexe Zahlen z ∈ C haben eine eindeutige Normal- oder Komponentendarstellungz = x + iymit reellen Zahlen x und y. x = Re(z) heißt Realteil von z und y = Im(z)heißt Imaginärteil von z. Ferner ist i 2 = −1 zu beachten.Zu einer komplexen Zahl z = x + iy definiert man die konjugierte Zahl z undden Betrag |z| durchz = x − iy, |z| = √ zz = √ x 2 + y 2 .Die trigonometrische Darstellung (Darstellung in Polarform) lautet:z = r ( cos(ϕ) + i sin(ϕ) ) = re iϕ ,( y( x)wobei r = |z| der Betrag und ϕ = arctan = arccos das Argumentx)rvon z ist. Für die korrekte Bestimmung des Argumentes ist auf Definitionsbereicheund Vorzeichen zu achten!Es wird die bemerkenswerte Euler’sche Formel verwendet:e it = cos(t) + i sin(t).Man erinnere sich, dass die e-Funktion exp : C → C mittels einer Reihe definiertist,∞∑exp(z) = e z 1=k! zk ,die für alle z ∈ C absolut konvergiert. Charakteristisch für exp ist das Potenzgesetz:e z+w = e z e w mit e 0 = 1.Viele bekannte Formeln – beispielsweise die Additionstheoreme für sin und cos– folgen hieraus.Man veranschaulicht sich C als Zahlenebene, welche die reellen Zahlen R alsx-Achse (reelle Achse) enthält 16 .Die Addition in C entspricht geometrisch der Vektoraddition, die Multiplikationmit w ≠ 0 entspricht einer Drehstreckung 16 . Im Falle |w| = 1 liegt nur eineDrehung vor.Die Rechengesetze (Körperaxiome) für die Grundrechenarten sind in C dieselbenwie in R oder Q. Da man zwei komplexe Zahlen nicht sinnvoll mittels”≤” oder ”