Mathematik für Maschinenbauer

1 Analysis und numerische Analysis1.18 Numerische IntegrationIntegralberechnungen sind meistens Teil einer umfassenderen mathematischenProblemstellung. Dabei sind die auftretenden Integrationen oft nicht analytischausführbar, oder ihre analytische Durchführung stellt im Rahmen derGesamtaufgabe eine praktische Schwierigkeit dar. In solchen Fällen wird derzu berechnende Integralausdruck angenähert ausgewertet durch numerische Integration,die auch numerische Quadratur genannt wird. Zu den zahlreichenAnwendungen der numerischen Quadratur gehören die Berechnung von Oberflächen,Volumina, Wahrscheinlichkeiten und Wirkungsquerschnitten.Wir behandeln in diesem Kapitel die Berechnung eines bestimmten Integrals I,das durch eine Summe – die numerische Quadraturformel Ĩ – approximiert wirdI =∫ ban∑f(x) dx −→ Ĩ = w i f(x i ),i=1wobei die Wahl der Koeffizienten oder Integrationsgewichte w i und der Stützstellenx i die Regel festlegen. Für einige Regeln wird von 0 bis n summiert.Die “Integration von Tabellendaten” wird hier nicht behandelt. Durch eineWertetabelle kann eine interpolierende oder approximierende Funktion gelegtwerden, die dann exakt integriert wird.Sollen numerische Integrationsregeln verglichen werden, so wird der Aufwandin Anzahl Funktionsauswertungen gemessen, da dieser rechnerische Aufwandden der anderen Rechenoperationen in allen wichtigen Fällen dominiert.1.18.1 Grundlegende QuadraturregelnZur Approximation von I kann man u.a. die folgenden einfachen Regeln (Formeln)benutzen:Rechteckregel: I ≈ I R = f(a) · (b − a)Trapezregel:Simpson-Regel:f(a) + f(b)I ≈ I T = · (b − a)2I ≈ I S = b − a [ ( a + b) ]f(a) + 4f + f(b)62yyyI TI TaI RbabaxxRechteckregel Trapezregel Simpsonregelbx140