Mathematik für Maschinenbauer

1 Analysis und numerische AnalysisBestimme A, B und C durch Koeffizientenvergleich. Dazu multipliziert mandie rechte Seite aus und sortiert anschließend nach Potenzen von x:p 2 x 2 + p 1 x + p 0 = A(x 2 − 2a 2 x + a 2 2) + B(x 2 − a 1 x − a 2 x + a 1 a 2 ) + C(x − a 1 )= Ax 2 − 2Aa 2 x + Aa 2 2 + Bx 2 − Ba 1 x − Ba 2 x + Ba 1 a 2 + Cx − Ca 1= (A + B)x 2 + (−2Aa 2 − Ba 1 − Ba 2 + C)x + (Aa 2 2 + Ba 1 a 2 − Ca 1 )= (A + B)x 2 + (−2a 2 A + (−a 1 − a 2 )B + C)x + (a 2 2A + a 1 a 2 B − a 1 C)Damit linke und rechte Seite der Gleichung übereinstimmen, müssen die Koeffizientenübereinstimmen:p 2 = A + Bp 1 = −2a 2 A + (−a 1 − a 2 )B +p 0 = a 2 2A + a 1 a 2 B + (−a 1 )CCAuch hier kann man zunächst die einfache Nennernullstelle a 1 einsetzen in(1.24) und den zugehörigen Koeffizienten A bestimmen.p 2 a 2 1 + p 1 a 1 + p 0 = A (a 1 − a 2 ) 2 =⇒ A = p 2a 2 1 + p 1a 1 + p 0(a 1 − a 2 ) 2Das verbleibende Gleichungssystem für B und C ist dann einfacher, denn alleTeilterme, die A enthalten, können ausgewertet und auf die andere Seite gestelltwerden.Es verbleibt ein Gleichungssystem für B und C.p 2 − A = Bp 1 + 2a 2 A = (−a 1 − a 2 )B + C (1.25)p 0 − a 2 2A = a 1 a 2 B + (−a 1 )CEs ergibt sich für das Integral der rationalen Funktion:∫ p(x)q(x) dx = A ln ( |x − a 1 | ) + B ln ( |x − a 2 | ) − C 1x − a 2+ cBeispiel 1.16.3 Es soll das folgende Integral ermittelt werden:∫ 15x 2 + 26x − 5x 3 + 3x 2 − 4dxDer Nenner q(x) = x 3 + 3x 2 − 4 muss zunächst in Linearfaktoren zerlegt werden.Da alle Koeffizienten ganzzahlig sind, kommen als eventuelle Nullstellen9 Statt der Koeffizienten A 21 und A 22 aus der allgemeinen Beschreibung verwenden wir zurbesseren Lesbarkeit die Koeffizienten B und C.130