Mathematik für Maschinenbauer

1.10 Exponentialfunktion und Logarithmus1.10 Exponentialfunktion und Logarithmus1.10.1 Die Exponential- oder e-FunktionDie durchexp : R → R, exp(x) =∞∑k=01k! xkdefinierte Funktion heißt (reelle) Exponentialfunktion (oder e-Funktion). Dieobige Reihe konvergiert absolut für jedes reelle x, daher gilt (D(exp) = R).Für x = 0 ist die Konvergenz offensichtlich, für x ≠ 0 sieht man dies mit denQuotientenkriterium ein:∣∣x k+1∣ ∣a k = 1 k! xk =⇒∣ a k+1 ∣∣∣∣ =a k(k + 1)!k!|x k | = |x| k→∞−→ 0k + 1Aus der Reihe exp(x) = 1 + x + 1 2 x2 + 1 3! x3 + . . . liest man sofort ab:exp(0) = 1, exp(x) ≥ 1 + x > 1 für x > 0.und man sieht, dass man die Funktion f(x) = exp(x) in der Nähe von x = 0approximieren kann durch die ersten beiden (Linearisierung!), ersten drei oderersten vier Summanden, siehe Abb. 1.10:Die Zahly = exp(x) ≈ 1 + xy = exp(x) ≈ 1 + x + x22!y = exp(x) ≈ 1 + x + x22! + x33!e = exp(1) =∞∑k=01k! = 2.71828182846 . . .heißt Eulersche Zahl. Man kann zeigen, dass gilt(e = lim 1 + 1 n.n→∞ n)Man verwendet oft die Potenzschreibweise e x = exp(x) für die e-Funktionen.Dies ist gerechtfertigt, weil die Potenzgesetze gelten (e x+y = e x e y ):Satz 1.10.1 exp(x + y) = exp(x) exp(y).Beweis. Der Beweis dieser Gleichung geht nicht sofort aus der Definition hervor.Man wendet einerseits die Binomische Formel und andererseits das Cauchyproduktabsolut konvergenter Reihen an, auf die Einzelheiten wollen wir verzichten.81