Mathematik für Maschinenbauer

1.13 Anwendungen der DifferenzialrechnungKandidaten: x 1 = 6 oder x 2 = 4 3V ′′ (x 1 ) = 24 · 6 − 88 > 0 MinV ′′ (x 2 ) = 24 · 4 − 88 < 0 Max3Damit ist also die optimale Höhe x = 4 3 m.1.13.4 (D) KonvexitätKrümmung des Graphen y = f(x) in einem (Teil-)Intervall:f ist konvex bedeutet: Jede Sehne (Sekante) liegt oberhalb des Graphen. Mansagt auch, der Graph ist (in Richtung positiver x-Werte) links gekrümmt.y = f(x)Auf ihrem gesamten Definitionsbereichsind z.B. y = e x ,y = x 2 und y = cosh(x) konvex.f ist konkav bedeutet: Jede Sehne liegt unterhalb des Graphen. Man sagt auch,der Graph ist (in Richtung positiver x-Werte) rechts gekrümmt.y = f(x)Auf ihrem gesamten Definitionsbereichsind z.B. y = ln(x)und y = √ x konkav.Es gilt: f konkav ⇐⇒ −f konvexIn der regel sind Funktionen (bezogen auf den gesamten Definitionsbereich)weder konkav noch konvex. Dazu zählen z.B. y = sin(x), y = cos(x) undy = x 3 .107