Mathematik für Maschinenbauer

1 Analysis und numerische AnalysisSpate und deren VoluminaDa wir in der 3D-Vektorrechnung sind, stellt sich die Frage: Kann man auchVolumeninhalte berechnen? Die Teilantwort für den aktuellen Stand lautet:Für einen Spat ist es möglich.Ein Spat ist die 3-dimensionale Verallgemeinerung des Parallelogramms. SeineSeitenflächen sind Parallelogramme, gegenüberliegende Seiten sind parallel undkongruent. Ein andere Begriff dafür ist auch Parallelflach. Ein Spat wird durchdrei Vektoren ⃗a, ⃗ b und ⃗c aufgespannt:⃗f = ⃗a× ⃗ b⃗c⃗ b⃗aDie Grundfläche ist ein durch ⃗a und ⃗ b aufgespanntes Parallelogramm. Dupliziertman diese und verschiebt das Duplikat mit ⃗c so erhält man den Deckel.Im Profil erhält man folgende Ansicht:⃗fh⃗c⃗a, ⃗ bDie Höhe berechnet sich zu h = ⃗c ·⃗e f = 1 f (⃗c · ⃗f). Dies entspricht der Länge derProjektion von ⃗c auf ⃗ f.Das Volumen ist Grundfläche mal Höhe, also: f · h = ⃗ f · ⃗c = (⃗a × ⃗ b) · ⃗c.Insgesamt ergibt sich: Der Betrag (die Länge) des Spatproduktes[⃗a, ⃗ b,⃗c ] := (⃗a × ⃗ b) · ⃗cist das Volumen des von ⃗a, ⃗ b und ⃗c aufgespannten Spates.Das Rechnen in Komponenten führt auf[⃗a, ⃗ a x b x c xb,⃗c ] =a y b y c y .∣ a z b z c z∣72