Mathematik für Maschinenbauer

1 Analysis und numerische AnalysisEine Probe:(− 1 √3) 3 ( 1 3 (2 + i = − 1 + i2 2) √ ) 33= 1 [(−1) 3 + 3(−1) 2√ 3 · i + 3(−1)( √ 3i) 2 + (i √ 3) 3]8= 1 [− 1 + 3 √ 3i + 9 − i( √ 3) 3]8= 1Sind ξ 0 , ξ 1 , . . . , ξ n−1 die verschiedenen n-ten Einheitswurzeln und ist w ≠ 0,dann sind alle n-ten Wurzeln von w von der Formz, zξ 1 , . . . , zξ n−1wobei z (irgend-)eine n-te Wurzel von w ist.Beispiel 1.20.8 Alle 3-ten Wurzeln aus w = −i:Zunächst wird −i in Polarkoordinaten umgewandelt: −i = cos ( 32 π) +i sin ( 32 π) .z = i ist eine dritte Wurzel, denn i 3 = −i. Alle 3-ten Wurzeln aus −i sinddann:√3z 0 = i, z 1 = −2 − i √32 , z 2 =2 − i 2Die allgemeine Vorgehensweise bei der Bestimmung aller n-ten Wurzeln auseiner Zahl w ∈ C mit w ≠ 0:1. Trigonometrische Darstellung von w = ρ(cos ψ + i sin ψ), ρ > 0 erstellen.2. Eine Wurzel z 0 = n√ ()ρ cos ψ n + i sin ψ nbestimmen.3. n-ten Einheitswurzeln ξ 0 = 1, ξ 1 , . . . , ξ n−1 nutzen:z k = ξ k z 0 für k = 0, 1, . . . , n − 1 sind alle Wurzeln.Quadratische Gleichungenz 2 + pz + q = 0besitzen genau zwei Lösungen, die mit der pq-Formel erhalten werden:z = − p 2 ± √p 2Fundamentalsatz der Algebra. Ein Polynom4 − qf(z) = a n z n + · · · + a 1 z + a 0vom Grade n ≥ 1 (d.h. a n ≠ 0) mit Koeffizienten a 0 , a 1 , . . . , a n hat eine Linearfaktorzerlegungf(z) = a n (z − z 1 ) · · · (z − z n ).Die Zahlen z 1 , . . . , z n ∈ C sind Nullstellen von f(z) = 0. (Eventuell tritt eineNullstelle mehrfach auf.)160