Mathematik für Maschinenbauer

1.15 Integrationsmethoden1.15 Integrationsmethoden1.15.1 Integration mit Hilfe bekannter AbleitungenDer Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung liefert eine Rechenregelzur Bestimmung des bestimmten Integral:∫ baf(x) dx = F (b) − F (a),wenn F Stammfunktion von f ist, d.h. F ′ (x) = f(x) für alle x.Die Menge aller Stammfunktionen von f nennt man das unbestimmte Integralvon f. Notiert wird dies wie folgt:∫f(x) dx = F (x) + c ⇔ F ′ (x) = f(x)Das Auffinden einer Stammfunktion F für den Integranden f (”Aufleiten”) istnützlich für die Berechnung von Integralen (Flächeninhalten). Die Durchsichtder bekannten Ableitungen liefert eine Liste von Grundintegralen (mit c alsKonstante):f(x)∫f(x)dx + cx a (a ≠ −1)1x = x−1e xa x (a > 0, a ≠ 1)sin(x)x a+1a + 1 + cln(|x|) + ce x + ca xln(a) + c− cos(x) + ccos(x)sin(x) + c1cos 2 (x)tan(x) + c11 + x 2 arctan(x) + ccosh(x)sinh(x) + csinh(x)cosh(x) + cUnter Verwendung der Linearität rechnet man weitere Integrale aus. DurchEinsetzen der Grenzen a und b erhält man bestimmte Integrale.119