Mathematik für Maschinenbauer

1 Analysis und numerische AnalysisDann bildet man die zugehörige Untersummemit ∆x j = x j − x j−1 und m j =U(f, Z) =N∑m j ∆x jj=1minx j−1 ≤x≤x jf(x).Das Produkt m j ∆x j gibt den Flächeninhalt des j-ten Rechtecks an.Analog bildet man die ObersummeO(f, Z) =N∑M j ∆x j mit M j = max f(x).x j−1 ≤x≤x jj=1Für den gesuchten Flächeninhalt giltU(f, Z) ≤ F ≤ O(f, Z).Wir hoffen bzw. erwarten, dass die Lücke zwischen Unter- und Obersummegegen 0 strebt, wenn wir Zerlegungen Z 1 , Z 2 , . . . von [a, b] wählen, deren Feinheitengegen 0 gehen, d.h. wenn δ(Z n ) → 0.In der Tat kann man für stetige Funktionen f : [a, b] → R zeigen, dass es eineneindeutig bestimmten Grenzwert F ∈ R gibt mitF = limk→∞ U(f, Z k) = limk→∞ = O(f, Z k),wenn δ(Z k ) → 0 (also für k → ∞). Diese Zahl F heißt bestimmtes Integral vonf über dem Intervall [a, b]. Man schreibt∫ baf(x) dx = F.Dann ist nicht nur das bestimmte Integral definiert, sondern man hat prinzipiellauch die Möglichkeit, es als Grenzwert der Obersumme zu berechnen.Beispiel 1.14.1∫ 1(i) x dx =?0y10.50 01xZerlege dazu [0, 1] in k gleichlange Teilintervalle (äquidistante Zerlegung):Z k : 0 = 0 k < 1 k < 2 k < . . . < k − 1k< k k = 1δ(Z k ) = 1 k → 0 für k → ∞; ∆x j = 1 k112