Mathematik für Maschinenbauer

1.8 Vektorrechnunga za ya xKreuzproduktZu zwei Vektoren ⃗a und ⃗ b, die nicht kollinear – insbesondere nicht ⃗0 – sind,findet man einen Einheitsvektor ⃗e, der senkrecht auf ⃗a und ⃗ b steht. ⃗e und −⃗esind die einzigen Einheitsvektoren mit dieser Eigenschaft. Entweder ist (⃗a, ⃗ b, ⃗e)oder (⃗a, ⃗ b, −⃗e) positiv orientiert, d.h. es gilt die Rechtehandregel. In solch einemFall bilden diese Vektoren ein Rechtssystem.Wir nehmen an, dass (⃗a, ⃗ b, ⃗e) positiv orientiert ist:(i) (⃗a, ⃗ b, ⃗e) ˆ= (Daumen, Zeigefinger, Mittelfinger) der rechten Hand.(ii) Wenn der Daumen in Richtung ⃗e zeigt, dann ist die Drehrichtung 6 geradedie positive Richtung innerhalb der (⃗a, ⃗ b)-Ebene.Das Kreuzprodukt oder Vektorprodukt von ⃗a mit ⃗ b ist dann:⃗a × ⃗ ∣b = ∣F (⃗a, ⃗ b) ∣ ⃗e = a b · | sin(ϕ)| ⃗e mit ϕ = ∡(⃗a, ⃗ b)Aus den Eigenschaften des Flächeninhaltes kann man die folgenden algebraischenEigenschaften des Kreuzproduktes zum Teil direkt ablesen:⃗a × ⃗ b = − ⃗ b × ⃗a(⃗a + ⃗ b) × ⃗c = (⃗a × ⃗c) + ( ⃗ b × ⃗c)(λ⃗a) × ⃗c = λ (⃗a × ⃗c)(⃗a × ⃗ b) ·⃗b = 0 = (⃗a × ⃗ b) · ⃗aSomit bilden ⃗a, ⃗ b und ⃗a × ⃗ b ein Rechtssystem.Folgerung 1.8.1(a) ⃗a × ⃗a = 0, denn ⃗a × ⃗a = −⃗a × ⃗a(b) Aus den orthogonalen Einheitsvektoren ⃗e 1 und ⃗e 2 entsteht ein rechtwinkligesRechtssystem ⃗e 1 , ⃗e 2 und ⃗e 1 × ⃗e 2 .6 hier muss man annehmen, dass man nicht weiter als bis π dreht69